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532 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica
Euclides (alrededor de 300 años
antes de nuestra era) dio clases en
Alejandría. Su obra Elementos es el
libro que más influencia científica
ha ejercido en la historia. Durante
dos mil años fue la introducción
normal a la geometría en las escuelas
y durante muchas generaciones
se consideró la mejor forma de
desarrollar el razonamiento lógico.
Por ejemplo, Abraham Lincoln
estudió en los Elementos para agudizar
su mente. La leyenda cuenta
que el rey Ptolomeo preguntó una
vez a Euclides si había una manera
más rápida de aprender geometría
que a través de los Elementos.
Euclides replicó que “no había un
camino para la realeza hacia la geometría”,
con lo que quería decir que
las matemáticas no respetan riqueza
o clase social. Euclides fue respetado
en su época, y le llamaban “El
geómetra” o bien, “El escritor de
los Elementos”. La grandeza de los
Elementos radica en su tratamiento
preciso, lógico y sistemático de la
geometría. Al trabajar con la igualdad,
Euclides proporciona las reglas
siguientes, a las que llama “nociones
comunes”.
1. Las cosas que son iguales a una
misma cosa son iguales entre sí.
2. Si se suman cantidades iguales
a cantidades iguales, las sumas son
iguales.
3. Si se restan cantidades iguales
a cantidades iguales, las restas son
iguales.
4. Las cosas que coinciden con
otra son iguales.
5. El todo es mayor que cualquiera
de sus partes.
Identidad pitagórica
Cancelación del factor común
Separación en dos fracciones
sec u tan u Identidades recíprocas ■
A continuación presentamos otro método para demostrar que una ecuación es una
identidad. Si podemos transformar por separado cada miembro de la ecuación, por
medio de identidades, a fin de llegar al mismo resultado, entonces la ecuación es una
identidad. En el ejemplo 6 se ilustra este procedimiento.
Ejemplo 6
Demostración de una identidad trabajando
ambos miembros por separado
1 cos u
Verificar la identidad
tan2 u
.
cos u sec u 1
Solución Comprobamos esta identidad transformando por separado cada miembro
en la misma expresión. Proporcione la razón de cada paso.
SM
Se infiere que PM SM, de modo que la ecuación es una identidad.
Esta sección finaliza con la descripción de la técnica de la sustitución trigonométrica,
la cual aplicamos para convertir expresiones algebraicas en trigonométricas.
Con frecuencia es útil en el cálculo infinitesimal, por ejemplo, para determinar el área
de un círculo o de una elipse.
Ejemplo 7
Sustitución trigonométrica
Sustituir x por sen u en la expresión 21 x 2 y simplifique. Suponga que
0 u p/2.
Solución
PM 1 cos u
cos u
cos u 11 sen u2
cos 2 u
1 sen u
cos u
1
cos u sen u
cos u
1
cos u cos u
cos u sec u 1
tan2 u
sec u 1 sec2 u 1 1sec u 121sec u 12
sec u 1
sec u 1 sec u 1
Hacemos x sen u, tenemos
■
21 x 2 21 sen 2 u Sustitución de x sen u
2cos 2 u Identidad pitagórica
cos u
Obtención de la raíz cuadrada
La última igualdad es verdadera porque cos u 0 para los valores de u en cuestión.
■