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842 CAPÍTULO 11 Sucesiones y series
recibe el nombre de serie infinita. Los puntos quieren decir que la suma continúa de
manera indefinida. ¿Qué significado podemos dar a la suma de una cantidad infinita
de números? Primero, parece que es imposible sumar infinitamente números y llegar
a un número finito. Pero consideremos el problema siguiente. Usted tiene un pastel y
quiere comer primero la mitad del pastel, luego comerá la mitad de lo que reste, luego
comerá otra vez la mitad del resto. Este proceso puede continuar de manera indefinida
porque en cada etapa queda algo de pastel.
1
16
1
16
1
32
Figura 3
1
2
1
4
1
2
1
8
1
4
1
2
¿Esto significa que es imposible comer todo el pastel? Claro que no. Escribamos
lo que usted ha comido de este pastel:
1
2 1 4 1 8 1
1
8
1
1
2
2
1
1
4
4
16 . . . 1 2 n . . .
1
8
Esta es una serie infinita, y observamos dos cosas acerca de ella. Primero, a partir de
la figura 3, es evidente que no importa cuántos términos de esta serie sumemos, el total
nunca será mayor que 1. Segundo, entre más términos de esta serie sumemos, la
suma será más cercana a 1 (véase la figura 3). Esto lleva a pensar que el número 1 se
puede expresar como una suma infinita de números pequeños:
1 1 2 1 4 1 8 1
16 . . . 1 2 n . . .
Para precisar más, examinemos las sumas parciales de esta serie:
S 1 1 2
1 2
S 2 1 2 1 4
3 4
S 3 1 2 1 4 1 8
7 8
S 4 1 2 1 4 1 8 1
16 15
16
y, en general (véase el ejemplo 5 de la sección 11.1),
S n 1 1 2 n
Cuando n se vuelve más y más grande, estamos sumando más y más términos de esta
serie. Intuitivamente, cuando n se vuelve más grande, S n está más cerca de la suma
de la serie. Ahora observe que cuando n se vuelve grande, 1/2 n se acerca más y más
a 0. Por lo tanto, S n se acerca a 1 0 1. Con la notación de la sección 3.6, podemos
escribir
S n 1 cuando n q