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566 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica
Ecuaciones con funciones trigonométricas
de ángulos múltiples
Cuando se resuelven ecuaciones trigonométricas que contienen funciones de múltiplos
de ángulos, primero se determina el múltiplo del ángulo y luego se divide para
hallar el ángulo.
Ejemplo 8
Funciones trigonométricas
de ángulos múltiples
Considere la ecuación 2 sen 3x 1 0.
a) Calcule todas las soluciones de la ecuación.
b) Encuentre las soluciones en el intervalo [0, 2p2.
Solución
a) Empezamos por aislar a sen 3x, y luego determinamos el ángulo múltiple 3x.
2 sen 3x 1 0
2 sen 3x 1
sen 3x 1 2
Ecuación dada
Suma de 1
División entre 2
3x p Determinación de 3x en el intervalo 30, 2p2
6 , 5p 6
Para obtener todas las soluciones, adicionamos cualquier múltiplo entero de 2p
a estas soluciones. Por consiguiente, las soluciones son de la forma
3x p 6 2kp, 3x 5p 6 2kp
Para determinar x, dividimos entre 3 para conocer las soluciones
donde k es cualquier entero.
x p 18 2kp
3 , x 5p
18 2kp
3
b) Las soluciones del inciso a) que están en el intervalo [0, 2p2 corresponden a
k 0, 1 y 2. Para todos los otros valores de k, los valores correspondientes de
x quedan fuera de este intervalo. Por lo tanto, las soluciones en el intervalo
[0, 2p2 son
x p 18 , 5p
18 , 13p
18 , 17p
18 , 25p
18 , 29p
18
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Ejemplo 9
Funciones trigonométricas de ángulos múltiples
Considere la ecuación 13 tan x .
2 1 0
a) Calcular todas las soluciones de la ecuación.
b) Determinar las soluciones en el intervalo [0, 4p2.