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710 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
The Granger Collection
Emmy Noether (1882-1935) fue
uno de los matemáticos más destacados
de los inicios del siglo XX.
Su trabajo innovador en álgebra
abstracta proporcionó gran parte
de los cimientos de este campo, y
su trabajo en la teoría invariante
fue esencial en la formulación de la
teoría general de la relatividad de
Einstein. Aunque a las mujeres no
se les permitía estudiar en las universidades
alemanas en esa época,
ella tomó cursos como oyente y
continuó hasta que recibió un doctorado
summa cum laude en Erlangen,
a pesar de la oposición
del Consejo Académico, el cual declaró
que las mujeres estudiantes
“desmantelarían todo el orden académico”.
Posteriormente fue maestra
de matemáticas en Göttingen,
Moscú y Frankfurt. En 1933 abandonó
Alemania para escapar de la
persecución de los nazis, y aceptó
trabajar en el Bryn Mawr College
en los suburbios de Filadelfia. Fue
maestra allí y en el Institute for Advanced
Study de Princeton, Nueva
Jersey, hasta su temprana muerte
en 1935.
Ejemplo 6
Uso de la regla de Cramer para resolver
un sistema con dos variables
Aplique la regla de Cramer para resolver el sistema
Solución
La solución es
En el caso de este sistema tenemos
0 D 0 `
0 D x 0 `
0 D y 0 `
2x 6y 1
e
x 8y 2
2 6
1 8 ` 2 # 8 6 # 1 10
1 6
2 8 ` 1128 6 # 2 20
2 1
1 2 ` 2 # 2 1121 5
x 0 D x 0
0 D 0
y 0 D y 0
0 D 0
20
10 2
5
10 1 2
La regla de Cramer se puede generalizar para que se aplique a cualquier sistema
de n ecuaciones lineales con n variables en el cual el determinante de la matriz de coeficientes
no es cero. Como ya vimos en la sección anterior, cualquiera de tales sistemas
se puede escribir en la forma matricial como
a 11 a 12
p a1n x 1 b 1
a
≥ 21 a 22
p a2n x
¥ ≥ 2 b
¥ ≥ 2
¥
o o ∞ o o o
a n1 a n2
p ann x n b n
Por analogía con la deducción de la regla de Cramer en el caso de dos ecuaciones con
dos incógnitas, sea D la matriz de coeficientes de este sistema, y D xi , la matriz obtenida
al reemplazar la i-ésima columna de D por los números b 1 , b 2 , . . . , b n que aparece
a la derecha del signo de igual. Entonces la regla siguiente proporciona la solución
del sistema.
■
Regla de Cramer
Si un sistema de n ecuaciones lineales con n variables x 1 , x 2 ,...,x n equivale
a la ecuación matricial DX B, y si 0 D 0 0, entonces sus soluciones son
x 1 0 D x 1
0
0 D 0
, x 2 0 D x 2
0
0 D 0
, . . . , x n 0 D x n
0
0 D 0
donde D xi es la matriz obtenida al reemplazar la i-ésima columna de D por la
matriz Bn 1.