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690 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
Ejemplo 1
Matrices identidad
Los siguientes productos de matrices muestran cómo al multiplicar una matriz por
una matriz identidad de la dimensión adecuada no modifica a la matriz.
c 1 0
0 1 d c 3 5 6
1 2 7 d c 3 5 6
1 2 7 d
1
2
1 7 1 0 0 1 7
£ 12 1 3§ £ 0 1 0§ £ 12 1 3§
2 0 7 0 0 1 2 0 7
Si A y B son matrices n n, y si AB BA I n , entonces se dice que B es la
inversa de A, y se escribe B A 1 . El concepto de la inversa de una matriz es análogo
al del recíproco de un número.
Inversa de una matriz
Sea A una matriz cuadrada n n . Si existe una matriz A 1 que sea n n con
la propiedad de que
AA 1 A 1 A I n
entonces decimos que A 1 es la inversa de A.
Ejemplo 2
Comprobación de que una matriz es una inversa
Verifique que B es la inversa de A, donde
Solución Se efectúan las multiplicaciones de matrices para mostrar que AB I
y que BA I:
c 2 1
5 3 d c 3 1
5 2 d c 2 # 3 1152 2112 1 # 2
5 # 3 3152 5112 3 # 2
d c 1 0
0 1 d
3 1
c
5 2 d c 2 1
A c 2 1
5 3 d y B c 3 1
5 2 d
5 3 d c 3 # 2 1125 3 # 1 1123
1522 2 # 5 1521 2 #
d c 1 0
3
Determinación de la inversa de una matriz 2 2
1
2
■
0 1 d
■
c a d
La regla siguiente proporciona una manera sencilla de determinar la inversa de
una matriz 2 2, cuando existe. En el caso de matrices grandes, hay un procedimiento
más general para determinar inversas, el cual se trata más adelante en esta
sección.
Inversa de una matriz 2 2
Si A c a b
c d d entonces A 1
Si ad bc 0, entonces A no tiene inversa.
1
ad bc c d b