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SECCIÓN 6.3 Funciones trigonométricas de ángulos 499
PROYECTO PARA UN
DESCUBRIMIENTO
B
B
c
c
a
a
A
b
C
Tales empleó triángulos similares
para hallar la altura de una columna
alta (véase la página 482.)
A
b
C
Similitud
En geometría aprendió que dos triángulos son semejantes si tienen los mismos
ángulos. En este caso, las relaciones de lados correspondientes son iguales. Los
triángulos ABC y ABC del margen son similares, por lo tanto
a¿
a b¿
b c¿
c
La similitud es la idea crucial que sustenta a la trigonometría. Se puede definir
sen u como la relación del cateto opuesto a la hipotenusa en cualquier triángulo
rectángulo con un ángulo u, porque todos los triángulos rectángulos son similares.
Por lo tanto, la relación representada por sen u no depende del tamaño del
triángulo rectángulo sino sólo del ángulo u. Esta es una idea eficaz porque con
frecuencia los ángulos son más fáciles de medir que las distancias. Por ejemplo,
el ángulo que forman el Sol, la Tierra y la Luna se puede medir desde la Tierra.
El secreto para hallar la distancia al Sol es que las relaciones trigonométricas son
las mismas para el enorme triángulo que forman el Sol, la Tierra y la Luna que
para cualquier otro triángulo similar (véase el ejercicio 61 en la sección 6.2).
En general, dos objetos son similares si tienen la misma forma aunque
puedan no ser del mismo tamaño.* Por ejemplo, se reconoce lo siguiente como
representaciones de la letra A porque todas son similares.
x
d
d
x
Si dos figuras son similares, entonces las distancias entre puntos correspondientes
en las figuras son proporcionales. Las letras A azul y roja son similares: la
3
relación de distancias entre puntos correspondientes es . Se dice que la relación
de similitud es s 3 2
2. Para obtener la distancia d entre dos puntos cualesquiera
3
en la A azul, se multiplica la distancia d correspondiente en la A roja por 2. Por
lo tanto,
d¿ sd o d¿ 3 2 d
Asimismo, la relación de similitud entre las letras primera y última es s 5, así
que x5x.
1. Escriba un párrafo corto que explique cómo se emplea el concepto de similitud
para definir las relaciones trigonométricas.
2. ¿Cómo se emplea la similitud en la elaboración de mapas? ¿Cómo se relacionan
las distancias en un mapa de carreteras de una ciudad con las distancias
reales?
* Si tienen la misma forma y tamaño, son congruentes, que es un caso especial de similitud.