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SECCIÓN 9.6 Inversas de matrices y ecuaciones matriciales 689
Por ejemplo, la primera columna de la matriz indica que de los estudiantes que
obtienen una A en un curso, 70% obtendrá una A en el curso siguiente, 15% obtendrá
B y 10% tendrá C. (Los estudiantes que obtienen D o F no pueden tomar
el curso siguiente, de modo que no están incluidos en la matriz.) Los elementos
de la matriz Y 0 proporcionan el número de estudiantes de nuevo ingreso que obtuvieron
A, B y C, respectivamente, en su curso final de matemáticas de bachillerato.
Sean Y 1 TY 0 , Y 2 TY 1 , Y 3 TY 2 y Y 4 TY 3 . Calcule e interprete los elementos
Y 1 , Y 2 , Y 3 y Y 4 .
A B C
0.70 0.25 0.05 A
140
T £ 0.15 0.50 0.25 § B Y 0 £ 320 §
0.05 0.15 0.45 C
400
A
B
C
9.6 Inversas de matrices
y ecuaciones matriciales
En la sección anterior estudiamos que cuando las dimensiones son adecuadas, las matrices
se pueden sumar, restar y multiplicar. En esta sección se aborda la división
de matrices. Con esta operación podemos resolver ecuaciones que se relacionan con
matrices.
La inversa de una matriz
Primero, se definen las matrices identidad, las cuales desempeñan el mismo papel para
la multiplicación de matrices que el número 1 para la multiplicación ordinaria de los números;
es decir, 1 # a a # 1 a para todos los números a. En la definición siguiente,
el término diagonal principal se refiere a los elementos de una matriz cuadrada cuyo
número de renglones y columnas son iguales. Estos elementos se acomodan en la
diagonal de la matriz, de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha.
La matriz identidad I n es la matriz n n para la cual cada elemento de la diagonal
principal es 1 y para la cual todos los otros elementos son 0.
Por lo tanto, las matrices identidad 2 2, 3 3 y 4 4 son
1 0 0 0
I 2 c 1 0
1 0 0
0 1 d I 0 1 0 0
3 £ 0 1 0§ I 4 ≥
¥
0 0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
Las matrices identidad se comportan igual que el número 1 en el sentido de que
A # In A y I n
# B B
siempre que estos productos estén definidos.