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SECCIÓN 6.3 Funciones trigonométricas de ángulos 489
Relación con las funciones
trigonométricas de números reales
Es posible que ya haya estudiado las funciones trigonométricas
definidas por medio del círculo unitario
(capítulo 5). Para ver cómo se relacionan las
funciones trigonométricas de un ángulo, se comenzará
con el círculo unitario en el plano coordenado.
y
P(x, y)
0 1
P(x, y) es el punto sobre la
circunferencia determinado por t.
Sea P(x, y) el punto sobre la circunferencia determinado
por un arco de longitud t en el círculo
unitario. Entonces t subtiende un ángulo u en el
centro del círculo. Si se baja una perpendicular de
P sobre el punto Q sobre el eje x, el triángulo
OPQ es un triángulo rectángulo con catetos de
longitud x y y, como se muestra en la figura.
t
x
Ahora, por la definición de las funciones trigonométricas
del número real t, se tiene
Por la definición de las funciones trigonométricas
del ángulo u, se tiene
sen u
cos u
Si u se mide en radianes, entonces u t. (Véase
la figura a continuación.) Al comparar las dos
formas de definir las funciones trigonométricas,
podemos observar que son idénticas. En otras
palabras, como funciones, asignan valores idénticos
a un determinado número real (el número
real es la medida en radianes de u en un caso o la
longitud t de un arco en el otro).
y
sen t y
cos t x
cateto opuesto
hipotenusa
cateto adyacente
hipotenusa
P(x, y)
t
¨
0 1
y 1 y
x 1 x
x
y
P(x, y)
r
y
0
¨
x 1
El triángulo OPQ es
un triángulo rectángulo
x
del ángulo ¨ t.
¿Por qué entonces se estudia trigonometría en
dos formas distintas? Debido a que aplicaciones
diferentes requieren que las funciones trigonométricas
sean consideradas de forma diferente.
(Véanse Enfoque en el modelado, páginas 459,
522 y 575 y las secciones 6.2, 6.4 y 6.5.)