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894 CAPÍTULO 12 Límites: presentación preliminar de cálculo
Bill Sanederson/SPL/Photo Researchers, Inc.
Sir Isaac Newton (1642-1727) es
considerado universalmente como
uno de los gigantes de la física y las
matemáticas. Es bien conocido
por descubrir las leyes del movimiento
y la gravedad y por inventar
el cálculo, pero también demostró el
teorema del binomio y las leyes de
la óptica, y desarrolló métodos
para resolver ecuaciones polinomiales
hasta cualquier exactitud
deseada. Nació el día de Navidad,
pocos meses después de la muerte
de su padre. Después de una infancia
infeliz, entró a la Universidad
de Cambridge, donde aprendió matemáticas
estudiando los escritos
de Euclides y Descartes.
Durante los años de la peste de
1665 y 1666, cuando se cerró la
universidad, Newton pensó y escribió
acerca de ideas que, una vez
publicadas, revolucionaron a las
ciencias de manera instantánea. Presa
de un temor patológico a la
crítica, publicó estos escritos sólo
después de muchos años de insistencia
por parte de Edmund Halley
(quien descubrió el ahora famoso
cometa) y otros colegas.
Los trabajos de Newton le dieron
enorme fama y prestigio. Incluso
algunos poetas lo elogiaron;
Alexander Pope escribió:
La Naturaleza y sus leyes
yacían ocultas en
la noche; dijo Dios
“que nazca Newton”
y todo se hizo luz.
(continúa)
Ejemplo 3
Evalúe los siguientes límites.
Determinación de límites
por sustitución directa
a) lím 12x 3 10x 82 b)
x3
Solución
a) La función f1x2 2x 3 10x 12 es un polinomio, de modo que se puede hallar
el límite por sustitución directa:
lím 12x 3 10x 122 2132 3 10132 8 16
x3
b) La función f1x2 1x 2 5x2/1x 4 22 es una función racional y x 1 está en su
dominio (porque el denominador no es cero para x 1). Así, se puede hallar
el límite por sustitución directa:
Determinación de límites por medio
de álgebra y leyes de límites
Como se pudo observar en el ejemplo 3, evaluar los límites por sustitución directa es
fácil. Pero no todos los límites pueden ser evaluados de esta manera. De hecho, la mayor
parte de las situaciones en las que los límites son útiles requiere un trabajo más
arduo para evaluar el límite. En los tres ejemplos siguientes se ilustra cómo usar el
álgebra para hallar límites.
Ejemplo 4
Hallar un límite mediante cancelación
de un factor común
x 1
Encuentre lím .
x1 x 2 1
Solución Sea f1x2 1x 12/1x 2 12. No se puede hallar el límite sustituyendo
x 1 porque f112 no está definido. En cambio, es necesario realizar antes algunas
operaciones algebraicas. Se factoriza el denominador como una diferencia de
cuadrados:
x 1
x 2 1 x 1
1x 121x 12
El numerador y el denominador tienen un factor común de x 1. Al tomar el límite
cuando x tiende a 1, se tiene x 1 y, por lo tanto, x 1 0. En consecuencia, se
puede cancelar el factor común y calcular el límite como sigue:
lím
x1
x 2 5x
lím
x1 x 4 2 1122 5112
112 4 2
x 1
x 2 1 lím
x1
lím
x1
1
x 2 5x
lím
x1 x 4 2
x 1
1x 121x 12
1
x 1
4
3
Factorice
Cancele
Sea x S 1
1 1 1 2
Este cálculo confirma algebraicamente la respuesta obtenida en forma numérica
y gráfica en el ejemplo 1 de la sección 12.1.
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