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SECCIÓN 9.4 Sistemas de ecuaciones lineales: matrices 667
ref([A])
[[1 2 -1 1 ]
-3]
[0 0 1 -2]]
Figura 1
Ahora tenemos una matriz equivalente en la forma escalonada, y el sistema de
ecuaciones correspondiente es
x 2y z 1
• y 4z 7
z 2
Recurrimos a la sustitución para resolver el sistema
y 4122 7
y 1
x 2112 122 1
x 3
Sustitución de z 2 en la ecuación 2
Determinación de y
Sustitución de y 1 y z 2 en la ecuación 1
Determinación de x
Entonces, la solución del sistema es 13, 1,22.
Las calculadoras que grafican poseen un comando “row-echelon form” (forma
escalonada) que convierte a una matriz en la forma escalonada. (En la TI-83, el comando
es ref.) En el caso de la matriz aumentada del ejemplo 3, el comando ref
proporciona el resultado que se ilustra en la figura 1. Observe que la forma escalonada
que se obtiene mediante la calculadora es diferente al que se llegó en el ejemplo
3. La razón es que la calculadora utilizada ejecuta operaciones distintas a las
que efectuamos. Debe comprobar que la forma escalonada de su calculadora es la
misma solución que la del libro.
■
Eliminación de Gauss-Jordan
Si ponemos la matriz aumentada de un sistema lineal en la forma escalonada reducida,
entonces no necesitamos sustituir para resolver el sistema. Para expresar una
matriz en la forma escalonada reducida seguimos los pasos siguientes.
■ Efectuamos operaciones elementales con los renglones para poner la matriz en
la forma escalonada.
■ Obtenemos ceros arriba de cada elemento principal añadiendo múltiplos del
renglón que contiene ese elemento a los renglones que se encuentran arriba
de él. Empezamos con el último elemento principal y trabajamos hacia arriba.
En seguida se muestra cómo funciona el proceso en una matriz 3 4:
Aplicar la forma escalonada reducida para resolver un sistema recibe el nombre de
eliminación de Gauss-Jordan. Ilustramos este proceso en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 4
1
£ 0 1
0 0 1
1 0
§ £ 0 1 0
0 0 1
Resolución de un sistema usando
la forma escalonada reducida
Resuelva el sistema de ecuaciones lineales, usando la eliminación de Gauss-Jordan.
4x 8y 4z 4
• 3x 8y 5z 11
2x y 12z 17
1 0 0
§ £ 0 1 0
0 0 1
Solución En el ejemplo se aplica la eliminación de Gauss a la matriz aumentada
de este sistema para obtener una matriz equivalente en la forma escalonada. Se con-
§