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SECCIÓN 5.5 Modelado del movimiento armónico 449
y
1
0
1
2
t
Movimiento armónico amortiguado
Se supone que el resorte de la figura 2 de la página 443 oscila en un medio sin fricción.
En este caso hipotético, la amplitud de la oscilación no cambia. En la presencia
de fricción, el movimiento del resorte “se extinguirá” con el tiempo, es decir, la amplitud
del movimiento disminuirá con el paso del tiempo. El movimiento de este tipo
se llama movimiento armónico amortiguado.
Movimiento armónico amortiguado
a) Movimiento armónico:
y=sen 8πt
y
1
0
b) Movimiento armónico amortiguado:
y=e– t sen 8πt
Figura 12
a(t)=e– t
1
_a(t)=_e– t
Hz es la abreviatura de hertz. Un hertz
es un ciclo por segundo.
2
t
Si la ecuación que describe el desplazamiento y de un objeto en el tiempo t es
y ke ct sen vt o bien y ke ct cos vt 1c 02
entonces, el objeto se desplaza con un movimiento armónico amortiguado.
La constante c es la constante de amortiguamiento, k es la amplitud inicial
y 2p/v es el periodo.*
El movimiento armónico amortiguado es movimiento armónico simple para el cual
la amplitud está regida por la función a1t2 ke ct . En la figura 12 se muestran las
diferencias entre movimiento armónico y movimiento armónico amortiguado.
Ejemplo 7 Modelado del movimiento armónico amortiguado
Dos sistemas masa-resorte están experimentando movimiento armónico amortiguado,
ambos a 0.5 ciclos por segundo y con un desplazamiento inicial máximo de 10 cm.
El primero tiene una constante de amortiguamiento de 0.5 y el segundo de 0.1.
a) Determine funciones de la forma g1t2 ke ct cos vt para modelar el movimiento
en cada caso.
b) Grafique las dos funciones que determinó en el inciso anterior. ¿En qué difieren?
Solución
a) En el tiempo t 0, el desplazamiento es 10 cm. Por lo tanto, g102 ke
cos1v # c # 0
02 k , y entonces k 10. Asimismo, la frecuencia es f 0.5 Hz,
y como v 2pf (véase página 443), obtenemos v 2p10.52 p. Al aplicar las
constantes de amortiguamiento dadas, encontramos que los movimientos de
los dos resortes se representan mediante las funciones
g 1 1t2 10e 0.5t cos pt y g 2 1t2 10e 0.1t cos pt
b) Las funciones g 1 y g 2 se grafican en la figura 13. Según las gráfica, vemos que
en el primer caso, donde la constante de amortiguamiento es mayor, el movimiento
se extingue con rapidez, en tanto que en el segundo caso, el movimiento
perceptible continúa mucho más tiempo.
12
12
_1
15
_1
15
Figura 13
_12
g⁄ e– ç πt
_12
g¤(t)=10 e–
ç πt
■
*En el caso del movimiento armónico amortiguado, el término cuasi-periodo se usa con mucha frecuencia en lugar de
periodo porque el movimiento no es en realidad periódico, sino que disminuye con el tiempo. No obstante, seguiremos
utilizando el término periodo para evitar confusiones.