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328 CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
4.1 Funciones exponenciales
Hasta el momento, se han estudiado las funciones polinomiales y racionales. Ahora
se estudia una de las funciones más importantes en matemáticas, la función exponencial.
Esta función se emplea para modelar procesos naturales como el crecimiento
poblacional y el decaimiento radiactivo.
Funciones exponenciales
En la sección 1.2 se definió a x para a 0 y x un número racional, pero no se han
definido aún las potencias irracionales. Por lo tanto, ¿qué se quiere dar a entender
con 5 13 o 2 p ? Para definir a x cuando x es irracional, se aproxima a x mediante números
racionales. Por ejemplo, puesto que
13 1.73205. . .
mediante las siguien-
es un número irracional, se aproxima de manera exitosa
tes potencias racionales:
De forma intuitiva, se puede ver que estas potencias racionales de a se aproximan
cada vez más a . Se puede demostrar por medio de matemáticas avanzadas que
hay exactamente un número al que se aproximan estas potencias. Se define a a 13
como este número.
Por ejemplo, usando una calculadora se encuentra
5 13 5 1.732
a 13 a 1.7 , a 1.73 , a 1.732 , a 1.7320 , a 1.73205 , . . .
16.2411. . .
a 13
Las leyes de los exponentes se listan en
la página 14.
Mientras más decimales de 13 se usen en el cálculo, mejor es la aproximación
de 5 13 .
Se puede demostrar que las leyes de los exponentes aún son válidas cuando los
exponentes son números reales.
Funciones exponenciales
La función exponencial con base a se define para todos los números reales x
por
donde a 0 y a 1.
f1x2 a x
Se supone que a 1 porque la función f1x2 1 x 1 es sólo una función constante.
A continuación se dan algunos ejemplos de funciones exponenciales:
f1x2 2 x g1x2 3 x h1x2 10 x
Base 2
Base 3
Base 10