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878 Enfoque en el modelado
b) Determine los primeros cinco términos de la sucesión A n .
c) Encuentre una fórmula para A n .
d) ¿Qué cantidad de los contaminantes se queda en el lago después de seis años? ¿Qué
cantidad se quedará después de que la planta ha estado funcionando un largo periodo?
e) Verifique su respuesta del inciso d) mediante la gráfica de A n en una calculadora,
para n 1 hasta n 20.
6. Programa de ahorro anual Úrsula abre un certificado de depósito de un año que
da 5% de interés al año. Inicia con un depósito de 5000 dólares. Al final de cada año,
cuando el certificado se vence, ella reinvierte a la misma tasa de interés, y añade también
10% al valor del certificado de depósito de otros de sus ahorros. (Por ejemplo, después
del primer año su certificado de depósito ganó 5% de 5000 dólares de interés, para un
valor de 5250 dólares al vencimiento. Entonces añade 10%, es decir, 525 dólares, lo cual
hace que el valor total de su certificado de depósito renovado sea de 5775 dólares.)
a) Encuentre una fórmula recursiva de la cantidad U n en su certificado de depósito
cuando ella reinvierte al final del n-ésimo año.
b) Encuentre los primeros cinco términos de la sucesión U n . ¿Se parece a una sucesión
geométrica?
c) Utilice el patrón observado en el inciso b) para determinar una fórmula para U n .
d) ¿Cuánto ha ahorrado después de 10 años?
7. Programa de ahorro anual Victoria abre un certificado de depósito de un año con
5% de rendimiento anual al mismo tiempo que su amiga Úrsula del problema 6. También
empieza con un depósito inicial de 5000 dólares. Sin embargo, Victoria decide añadir
500 dólares a su certificado de depósito cuando reinvierte al final del primer año, 1000 dólares
al final del segundo año, 1500 dólares al final del tercero y así sucesivamente.
a) Explique por qué la fórmula recursiva que se muestra a continuación da la cantidad
V n en su certificado de depósito cuando ella reinvierte al final del n-ésimo año.
Introducción de la sucesión
u( )
0 5000
1 5750
2 6612.5
3 7604.4
4 8745
5 10057
6 11565
=0
v( )
5000
5750
7037.5
8889.4
11334
14401
18121
Tabla de los valores
de las sucesiones
V n 1.05V n1 500n
b) Ponga su calculadora para graficar en modo Seq introduzca las sucesiones U n y V n ,
como se muestra en la figura de la izquierda. Luego use el comando TABLE
para comparar las dos sucesiones. En los primeros años, Victoria parece haber
acumulado más ahorros que Úrsula. Verifique por abajo de la tabla para verificar que
Úrsula con el tiempo se adelanta a Victoria en esta carrera de ahorros. ¿En qué año
sucede esto?
8. Ley de Newton del enfriamiento Una sopera a 170F se coloca en la mesa del
comedor cuyo termostato está a 70F. La sopa se enfría según la siguiente regla, un caso
especial de la ley de Newton del enfriamiento: cada minuto, la temperatura de la sopa
desciende 3% de la diferencia entre la temperatura de la sopa y la temperatura del comedor.
a) Encuentre una sucesión recursiva que modele la temperatura de la sopa T n en el
n-ésimo minuto.
b) Introduzca la sucesión T n en su calculadora y aplique el comando TABLE para determinar
la temperatura a incrementos de 10 min desde n 0 hasta n 60. (Véase el
problema 7 b).
c) Grafique la sucesión T n . ¿A qué temperatura estará la sopa después de mucho tiempo?
9. Crecimiento logístico de la población Los modelos exponenciales simples para
el crecimiento poblacional no toman en cuenta el hecho de que cuando la población se
incrementa, la supervivencia se vuelve más difícil para cada individuo debido a que la
competencia es mayor por el alimento y otros recursos. Podemos lograr un modelo más