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612 CAPÍTULO 8 Coordenadas polares y vectores
y
|v|
¨
0
|v| ç ¨
Figura 12
|v| sen ¨
x
b) Las propiedades de suma y multiplicación por un escalar de vectores muestran
que se pueden operar los vectores de la misma forma que las expresiones algebraicas.
Así
2u 5v 213i 2j2 51i 6j2
16i 4j2 15i 30j2
i 34j
Sea v un vector en el plano con su punto inicial en el origen. La dirección de v es u,
el ángulo positivo más pequeño en posición estándar formado por el eje positivo x y v
(véase la figura 12). Si se conoce la magnitud y dirección de un vector, entonces la figura
12 muestra que se pueden hallar las componentes horizontal y vertical del vector.
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Componentes horizontal y vertical de un vector
Sea v un vector con magnitud 0 v 0 y dirección u.
Entonces v a, b ai bj, donde
a 0 v 0 cos u y b 0 v 0 sen u
Por lo tanto, se puede expresar a v como
v 0 v 0 cos u i 0 v 0 sen u j
Ejemplo 5
Componentes y dirección de un vector
a) Un vector v tiene longitud 8 y dirección p/3. Encuentre las componentes horizontal
y vertical y escriba a v en términos de i y j.
b) Encuentre la dirección del vector u 13 i j.
Solución
a) Se tiene v a, b, donde las componentes están dados por
y
a 8 cos p 3 4 y b 8 sen p 3 413
_Ϸ3
Figura 13
u
1
0
¨
x
Por consiguiente, v 84, 4 139 4i 413 j.
b) De la figura 13 se puede observar que la dirección u tiene la propiedad de que
tan u 1
13 13
3
Así, el ángulo de referencia para u es p/6. Puesto que el punto terminal del
vector u está en el cuadrante II, se deduce que u 5p/6.
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El uso de rumbos (como N 30 E) para
describir direcciones se explicó en la
página 511 en la sección 6.5.
Uso de vectores para modelar la velocidad
y la fuerza
La velocidad de un objeto móvil se modela mediante un vector cuya dirección es la
dirección de movimiento cuya magnitud es la velocidad. En la figura 14 se muestran
algunos vectores u, que representan la velocidad del viento que fluye en la dirección
N 30 E, y un vector v, que representa la velocidad de un avión que vuela por este
viento en el punto P. Es evidente a partir de la experiencia que el viento afecta tanto