7nxQnvJSe

542 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica
Fórmulas para el ángulo doble
Fórmula para el seno:
Fórmulas para el coseno:
sen 2x 2 sen x cos x
cos 2x cos 2 x sen 2 x
1 2 sen 2 x
2 cos 2 x 1
Fórmula para la tangente: tan 2x 2 tan x
1 tan 2 x
Las demostraciones de las fórmulas para el coseno se presentan aquí. A usted se le
pide que demuestre las fórmulas restantes en los ejercicios 33 y 34.
■ Demostración de las fórmulas del ángulo doble para el caso del coseno
cos 2x cos1x x2
cos x cos x sen x sen x
cos 2 x sen 2 x
Las fórmulas segunda y tercera para cos 2x se obtienen de la fórmula que apenas demostramos
y de la identidad pitagórica. Al sustituir cos 2 x 1 sen 2 x tenemos
cos 2x cos 2 x sen 2 x
11 sen 2 x2 sen 2 x
1 2 sen 2 x
La tercera fórmula se obtiene de la misma manera, sustituyendo sen 2 x 1 cos 2 x.
■
Ejemplo 1
2
3
Uso de las fórmulas del ángulo doble
Si cos x y x está en el cuadrante II, calcule cos 2x y sen 2x.
Solución Si usamos una de las fórmulas para el ángulo doble en el caso del
coseno obtenemos
cos 2x 2 cos 2 x 1
2
2
2 a
3 b 1 8 9 1 1
9
Para aplicar la fórmula sen 2x 2 sen x cos x, necesitamos determinar primero sen x.
Tenemos entonces
sen x 21 cos 2 x 21 A 2 3B 2 15
3
donde hemos usado la raíz cuadrada positiva porque sen x es positivo en el cuadrante
II. Por consiguiente,
sen 2x 2 sen x cos x
2 a 15
3 ba 2
3 b 415
9
■