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286 CAPÍTULO 3 Funciones polinomiales y racionales
Sumar, restar y multiplicar números complejos
Aunque se usa el término imaginario en este contexto, los números imaginarios
no deben ser considerados como algo menos “real” (en el sentido ordinario más que
matemático de la palabra) que los números negativos o irracionales. Todos los números
(excepto posiblemente los enteros positivos) son creaciones de la mente humana,
los números 1 y 12 así como el número i. Se estudian los números complejos
porque completan, de un modo útil y elegante, el estudio de las soluciones de ecuaciones.
De hecho, los números imaginarios son útiles no sólo en álgebra y matemáticas,
sino en otras ciencias también. Para dar sólo un ejemplo, en teoría eléctrica la
reactancia de un circuito es una cantidad cuya medida es un número imaginario.
Operaciones matemáticas sobre números complejos
Los números complejos se suman, restan, multiplican y dividen del mismo modo
como se haría con cualquier número de la forma . La única diferencia que
se requiere tener en mente es i 2 1. Así, los cálculos siguientes son válidos.
1a bi21c di2 ac 1ad bc2i bdi 2 a b 1c
ac 1ad bc2i bd112
Multiplique y reúna los términos
semejantes
i 2 1
1ac bd2 1ad bc2i Combine las partes reales y
las imaginarias
Por lo tanto, se define la suma, diferencia y el producto de números complejos como
sigue.
Definición
Suma
1a bi2 1c di2 1a c2 1b d2i
Resta
1a bi2 1c di2 1a c2 1b d2i
Multiplicación
1a bi2 # 1c di2 1ac bd2 1ad bc2i
Descripción
Para sumar números complejos, sume las partes reales y
las partes imaginarias.
Para restar números complejos, reste las partes reales y las
partes imaginarias.
Multiplique los números complejos como binomios, con
i 2 1.
Las calculadoras para gráficas pueden
efectuar operaciones aritméticas en
números complejos.
(3+5i)+(4-2i)
7+3i
(3+5i)*(4-2i)
22+14i
Ejemplo 2
Suma, resta y multiplicación de números
complejos
Exprese lo siguiente en la forma a bi.
a) 13 5i2 14 2i2
b) 13 5i2 14 2i2
c) 13 5i214 2i2
d) i 23
Solución
a) De acuerdo con la definición, se suman las partes reales y las partes imaginarias.
13 5i2 14 2i2 13 42 15 22i 7 3i