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SECCIÓN 8.3 Forma polar de números complejos; teorema de DeMoivre 605
PROYECTO PARA UN
DESCUBRIMIENTO
Fractales
Los fractales son objetos geométricos que exhiben más y más detalles a medida
que se amplifican (véase Matemáticas en el mundo moderno en la página 600).
Muchos fractales se pueden describir al iterar funciones de números complejos.
El fractal más famoso se ilustra en las figuras 1 y 2. Se llama conjunto de
Mandelbrot, en honor de Benoit Mandelbrot, el matemático que lo descubrió
en la década de 1950.
Cortesía de David Dewey
Stephen Gerard/Photo Researchers, Inc.
Figura 1
Fractal Mandelbrot y detalle de fractal
Figura 2
Detalle del conjunto de Mandelbrot
Aquí está cómo se define el conjunto de Mandelbrot. Elija un número complejo
c, defina la función cuadrática compleja
Empezando con z 0 0, se forman las iteraciones de f como sigue:
z 1 f102 c
f1z2 z 2 c
z 2 f1f1022 f1c2 c 2 c
z 3 f1f1f10222 f1c 2 c2 1c 2 c2 2 c
. . . .
Conforme se continúa calculando las iteraciones, una de dos cosas sucederán,
dependiendo del valor de c. Cualquiera de las iteraciones z 0 , z 1 , z 2 , z 3 ,… forman
un conjunto acotado (es decir, el módulo de las iteraciones son menos que algún
número fijo K), o de otro modo, con el tiempo se harán cada vez más grandes sin
cota. Los cálculos de la tabla de la página 606 muestran que para c 0.1 0.2i,
las iteraciones finalmente se estabilizan alrededor de 0.05 0.22i, mientras que
para c 1 i, las iteraciones rápidamente se vuelven tan grandes que una
calculadora no puede manejarlas.