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882 CAPÍTULO 12 Límites: presentación preliminar de cálculo
que h se acerque a cero), se realiza una amplificación del instante deseado. Se puede
escribir
f12 h2 f122
velocidad instantánea lím
hS0 h
Si se encuentra un patrón para la velocidad promedio, se puede evaluar este límite de
manera exacta.
Las ideas en este capítulo tienen aplicaciones de amplio alcance. El concepto de
“tasa de cambio instantánea” se aplica a cualquier cantidad variante, no sólo la velocidad.
El concepto de “área bajo la gráfica de una función” es muy versátil. De hecho,
numerosos fenómenos, en apariencia no relacionados con el área, se pueden
interpretar como el área bajo la gráfica de una función. Algunos de éstos se exploran
en Enfoque en el modelado, página 929.
12.1 Determinación de límites
en forma numérica y gráfica
En esta sección se emplean tablas de valores y gráficas de funciones para responder
la pregunta, ¿qué sucede con los valores f1x2 de una función f cuando la variable x se
aproxima a un número a?
Definición de límite
Se comienza por investigar el comportamiento de la función f definida por
f1x2 x 2 x 2
para valores de x cercanos a 2. En la tabla siguiente se dan los valores de f1x2 para
valores de x cercanos a 2 pero no iguales a 2.
x
f 1x2
x
f 1x2
y
1.0 2.000000
1.5 2.750000
1.8 3.440000
1.9 3.710000
1.95 3.852500
1.99 3.970100
1.995 3.985025
1.999 3.997001
3.0 8.000000
2.5 5.750000
2.2 4.640000
2.1 4.310000
2.05 4.152500
2.01 4.030100
2.005 4.015025
2.001 4.003001
Ï
se aproxima
4.
4
y=≈- x+2
0 2
x
Cuando x se aproxima a 2
Figura 1
De la tabla y la gráfica de f (una parábola) mostrada en la figura 1, se puede observar
que cuando x está cerca de 2 (en cualquier lado de 2), f1x2 está cerca de 4. De
hecho, parece que se puede lograr que los valores de f1x2 se aproximen a 4 tanto como
se desee al tomar x suficientemente cercana a 2. Esto se expresa diciendo “el límite
de la función f1x2 x 2 x 2 cuando x se aproxima a 2 es igual a 4”. La notación
para esto es
lím 1x 2 x 22 4
xS2