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44 CAPÍTULO 1 Fundamentos
tipo, que muestra que un enunciado es falso, se denomina
contraejemplo.
Error algebraico
Contraejemplo
1
1
2 1 2 1
a 1 b 1
a b
2 2
1a b2 2 a 2 b 2
2a 2 b 2 a b
a b
a
b
1a 3 b 3 2 1/3 a b
a m /a n a m/n
a 1/n 1 a n
98. La forma de una expresión algebraica Una expresión
algebraica podría verse complicada, pero su “forma” siempre
es simple; tiene que ser una suma, un producto, un
cociente o una potencia. Por ejemplo, considere las expresiones
siguientes:
11 x 2 2 2 a x 2 3
11 x2 a1 x 5
x 1 b 1 x b 4
5 x 3
1 x
1 21 x 2 A 1 x
Con elecciones adecuadas para A y B, la primera tiene la
forma de A B, la segunda de AB, la tercera de A/B, y la
cuarta de A 1/2 . Identificar la forma de una expresión nos
ayuda a expandir, simplificar o a factorizar en forma
correcta. Encuentre la forma de las siguientes expresiones
algebraicas.
a) x 1 1 A x
b) 11 x 2 211 x2 3
c) 2 3 x 4 14x 2 12 d) 1 221 x
1 21 x 2
1.5 Ecuaciones
x 3 es una solución de la ecuación
4x 7 19, porque al sustituir
x 3 la ecuación se cumple:
x 3
4132 7 19
Una ecuación es un enunciado en el que se establece que las expresiones matemáticas
son iguales. Por ejemplo,
3 5 8
es una ecuación. La mayor parte de las ecuaciones que se estudian en el álgebra contiene
variables, las cuales son símbolos, casi siempre letras que representan números.
En la ecuación
4x 7 19
la letra x es la variable. Consideramos que la x es la “incógnita” de la ecuación, por
lo que el objetivo es determinar el valor de x que hace que la ecuación sea cierta. Los
valores de la incógnita que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman soluciones
o raíces de la ecuación, y el proceso para determinar las soluciones se llama resolución
de una ecuación.
Dos ecuaciones con exactamente las mismas soluciones se llaman ecuaciones
equivalentes. Para resolver una ecuación, tratamos de encontrar una ecuación más
simple y equivalente en la que la variable esté sola en un lado del signo de “igual”.
En seguida están las propiedades que aplicamos para resolver una ecuación. (En estas
propiedades, A, B y C representan expresiones algebraicas y el símbolo 3 significa
“equivale a”.)
Propiedades de la igualdad
Propiedad
Descripción
1. A B 3 A C B C Sumar la misma cantidad a ambos miembros
de una ecuación se obtiene una
ecuación equivalente.
2. A B 3 CA CB (C 0) Multiplicar ambos miembros de una
ecuación por la misma cantidad no cero
se obtiene una ecuación equivalente.