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902 CAPÍTULO 12 Límites: presentación preliminar de cálculo
Newton y los límites
En 1687, Isaac Newton (véase la
página 894) publicó su obra maestra
Principia Mathematica. En este
trabajo, el tratado científico más
grande jamás escrito, Newton explicó
su versión del cálculo y la
empleó para investigar la mecánica,
la dinámica de fluidos y el movimiento
ondulatorio, y explicar el
movimiento de planetas y cometas.
Los inicios del cálculo se encuentran
en los cálculos de áreas y
volúmenes de los eruditos griegos
como Eudoxus y Arquímedes.
Aunque los aspectos de la idea de
límite están implícitos en su “método
de agotamiento”, Eudoxus y
Arquímedes nunca formularon de
manera explícita el concepto de límite.
Del mismo modo, matemáticos
como Cavalieri, Ferinat y
Barrow, los precursores inmediatos
de Newton en el desarrollo del
cálculo, no emplearon en realidad
límites. Fue Isaac Newton quien
habló primero en forma explícita
acerca de los límites. Explicó que
la idea principal detrás de los límites
es que las cantidades “se aproximan
lo más posible por alguna
diferencia dada”. Newton estableció
que el límite era el concepto
básico en cálculo, pero quedó en
manos de matemáticos posteriores
como Cauchy aclarar estas ideas.
Ejemplo 2
Hallar una tangente
Encuentre una ecuación de la recta tangente a la cuerva y x 3 2x 3 en
el punto 11, 22.
Solución Si f1x2 x 3 2x 3, entonces la pendiente de la recta tangente
donde a 1 es
f11 h2 f112
m lím
h0 h
311 h2 3 211 h2 34 31 3 2112 34
lím
h0
h
1 3h 3h 2 h 3 2 2h 3 2
lím
h0
h
h 3h 2 h 3
lím
h0 h
lím 11 3h h 2 2
h0
1
Por consiguiente, una ecuación de la recta tangente en 11, 22 es
y 2 11x 12 o y x 1
Definición de m
Desarrolle el
numerador
Simplifique
Cancele h
Permita que h S 0
Derivadas
Se ha visto que la pendiente de la recta tangente a la curva y f1x2 en el punto
1a, f1a22 se puede escribir como
f1a h2 f1a2
lím
h0 h
f 1x2 x 3 2x 3
■
Resulta que esta expresión surge también en muchos otros contextos, como hallar velocidades
y otras tasas de cambio. Debido a que este tipo de límite ocurre de manera
extensa, recibe un nombre y notación especiales.
Definición de una derivada
La derivada de una función f en un número a, denotada por f1a2, es
si este límite existe.
f1a h2 f1a2
f¿1a2 lím
h0 h