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912 CAPÍTULO 12 Límites: presentación preliminar de cálculo
Ejemplo 2
Hallar un límite en el infinito
3x 2 x 2
Evalúe lím
.
xSq 5x 2 4x 1
Solución Para evaluar el límite de una función racional en el infinito, se divide
primero numerador y denominador entre la potencia más alta de x que aparece en el
denominador. (Se podría suponer que x 0 puesto que sólo se tiene interés en
valores grandes de x.) En este caso, la potencia más alta de x en el denominador es
x 2 , así que se tiene
lím
xSq
3x 2 3 1 x 2
5x 2 4x 1 lím x 2 x 2
xSq
5 4 x 1 x 2
Divida numerador y
denominador entre x 2
y
0
1
y=0.6
x
lím a 3 1
xSq x 2 x b 2
lím a 5 4
xSq x 1 x b 2
Límite de un cociente
Figura 6
1
lím 3 lím
xSq xSq x 2 lím
xSq
1
lím 5 4 lím
xSq xSq x lím
xSq
3 0 0
5 0 0 3 5
Límites de sumas
y diferencias
Permita que x q
Un cálculo similar muestra que el límite cuando x q es también 5. En la figura
6 se ilustran los resultados de estos cálculos mostrando cómo la gráfica de la función
racional dada se aproxima a la asíntota horizontal y 3 5. ■
1
x 2
1
x 2
3
Ejemplo 3
Límite en el infinito negativo
Use métodos numéricos y gráficos para determinar lím e x .
xSq
Solución De la gráfica de la función exponencial natural y e x en la figura 7 y
la tabla de valores correspondiente, se puede observar que
lím e x 0
xSq
Se deduce que la recta y 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.
y
x
e x
1
0
1
y=Æ
x
0 1.00000
1 0.36788
2 0.13534
3 0.04979
5 0.00674
8 0.00034
10 0.00005
Figura 7
■