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SECCIÓN 6.3 Funciones trigonométricas de ángulos 493
identidades recíprocas. Estas identidades todavía se cumplen para cualquier ángulo u,
siempre que estén definidos ambos miembros de la ecuación. Las identidades pitagóricas
son una consecuencia del teorema de Pitágoras.*
Identidades fundamentales
Identidades recíprocas
csc u 1
sen u
sec u 1
cos u
cot u 1
tan u
tan u sen u
cos u
cot u cos u
sen u
Identidades pitagóricas
sen 2 u cos 2 u 1 tan 2 u 1 sec 2 u 1 cot 2 u csc 2 u
y
r
¨
0 x
Figura 13
(x, y)
y
x
■ Demostración Se demostrará primero la identidad pitagórica. Si se utiliza
x 2 y 2 r 2 (el teorema de Pitágoras) en la figura 13, se tiene
sen 2 u cos 2 u a y 2
r b a x 2
r b
x2 y 2
r 2
r2
r 2 1
Así, sen 2 u cos 2 u 1. (Aunque en la figura se indica un ángulo agudo, se debe comprobar
que la demostración se cumple para todos los ángulos u.)
■
Véanse los ejercicios 59 y 60 para las demostraciones de las otras dos identidades
pitagóricas.
Ejemplo 5
Expresar una función trigonométrica
en términos de otra
a) Exprese sen u en términos de cos u.
b) Exprese tan u en términos de sen u, donde u está en el cuadrante II.
Solución
a) A partir de la primera identidad pitagórica se obtiene
sen u 21 cos 2 u
donde el signo depende del cuadrante. Si u está en el cuadrante I o II, entonces
sen u es positivo y, en consecuencia,
sen u 21 cos 2 u
mientras que si u está en el cuadrante III o IV, sen u es negativo y, por lo tanto,
sen u 21 cos 2 u
* Seguimos la convención usual de escribir sen 2 u para (sen u) 2 . En general, se escribe sen n u para (sen u) n para los enteros
n excepto n 1. En la sección 7.4 se asignará otro significado al exponente n 1. Por supuesto, se aplica la misma
convención a las otras cinco funciones trigonométricas.