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436 CAPÍTULO 5 Funciones trigonométricas de números reales
Matemáticas en el
mundo moderno
Evaluación de funciones
mediante una calculadora
¿Cómo evaluar mediante una calculadora
sen t, cos t, e t , ln t, 1t y
otras funciones semejantes? Un
método es aproximar estas funciones
mediante polinomios, porque
éstos son fáciles de evaluar. Por
ejemplo,
sen t t t 3
3! t 5
5! t 7
7! . . .
cos t 1 t 2
2! t 4
4! t 6
6! . . .
donde n! 1 # 2 # 3 # ...# n. El matemático
británico Brook Taylor
(1685-1731) dedujo estas fórmulas
admirables. Por ejemplo, si utilizamos
los tres primeros términos de
la serie de Taylor para encontrar
cos10.42, obtenemos
Por consiguiente, las rectas x 0 y x p son asíntotas verticales. En el intervalo
p x 2p la gráfica se traza igual. Los valores de csc x en ese intervalo son los mismos
que en el intervalo 0 x p, excepto por el signo (véase figura 3). La gráfica
completa de la figura 5(c) se obtiene a partir del hecho de que la función cosecante es
periódica y su periodo es 2p. Observe que la gráfica tiene asíntotas verticales en los
puntos donde sen x 0, es decir, en x np, donde n es un entero.
3π
_ 2
_π
π
_ 2
y
1
0 π π 3π
2
2
a) y=† x
y
x
3π
_ 2
_π
π
_ 2
y
1
0 π π
2
b) y=ˇ x
y
3π
2
x
cos 0.4 1 10.422
2!
0.92106667
10.424
4!
(Compare lo anterior con el valor
que obtiene mediante su calculadora.)
La gráfica muestra que cuantos
más términos de la serie usemos,
tanto más los polinomios se aproximan
al valor de la función cos t.
3π
_ 2
_π
π
_ 2
1
0
π
2
c) y=apple x
π
3π
2
x
3π
_ 2
_π
π
_ 2
_1
0 π π 3π
2
2
d) y=˚ x
x
y
y = 1 – t 2 +
2!
t 4
4!
Figura 5
_5
y = 1 – t2
2!
2
0 5 t
_1
y = cos t
La gráfica de y sec x se traza de manera similar. Observe que el dominio de
sec x es el conjunto de todos los números reales que no son x 1p/22 np, donde
n es un entero, de modo que la gráfica tiene asíntotas verticales en esos puntos. La
gráfica completa se ilustra en la figura 5(d).
Es evidente que las gráficas de y tan x, y cot x y y csc x son simétricas con
respecto al origen, y que, por otro lado, y sec x es simétrica con respecto al eje y.
La razón es que la tangente, la cotangente y la cosecante son funciones impares, en
tanto que la secante es una función par.
Gráficas que contienen funciones tangente y cotangente
Consideremos ahora las gráficas de transformaciones de las funciones tangente y
cotangente.