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SECCIÓN 11.6 Teorema del binomio 861
Desarrollo de (a b) n
Para encontrar un patrón en el desarrollo de 1a b2 n , primero examinamos unos casos
especiales:
1a b2 1 a b
1a b2 2 a 2 2ab b 2
1a b2 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3
1a b2 4 a 4 4a 3 b 6a 2 b 2 4ab 3 b 4
1a b2 5 a 5 5a 4 b 10a 3 b 2 10a 2 b 3 5ab 4 b 5
.
Los siguientes patrones simples surgen del desarrollo de 1a b2 n :
1. Hay n 1 términos, el primero es a n y el último es b n .
2. Los exponentes de a disminuyen una unidad de término a término, en tanto los
exponentes de b aumentan una unidad.
3. La suma de los exponentes de a y b en cada término es n.
Por ejemplo, observe cómo se comportan los exponentes a y b es en el desarrollo
de 1a b2 5 .
Los exponentes de a disminuyen:
5 4 3 2 1
1a b2 5 a 5a b 1 10a b 2 10a b 3 5a b 4 b 5
Los exponentes de b incrementan:
1 2 3 4 5
1a b2 5 a 5 5a 4 b 10a 3 b 10a 2 b 5a 1 b b
A partir de estas observaciones podemos escribir la forma del desarrollo de 1a b2 n
para cualquier número natural n. Por ejemplo, si escribimos un signo de interrogación
en donde falte un coeficiente, tenemos
Óa bÔ 8 a 8 ? a 7 b ? a 6 b 2 ? a 5 b 3 ? a 4 b 4 ? a 3 b 5 ? a 2 b 6 ? ab 7 b 8
Para terminar el desarrollo, es necesario determinar estos coeficientes. Para encontrar
un patrón, se escriben los coeficientes en el desarrollo de 1a b2 n para los primeros
valores de n en un acomodo triangular como el mostrado en la siguiente figura, que
se llama triángulo de Pascal.
1a b2 0 1
1a b2 1 1 1
1a b2 2
1 2 1
1a b2 3
1 3 3 1
1a b2 4 1 4 6 4 1
1a b2 5 1 5 10 10 5 1