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SECCIÓN 7.3 Fórmulas para el ángulo doble, mitad de ángulo o semiángulo y producto-a-suma 545
■ Demostración Sustituimos x u/2 en las fórmulas para reducir la potencia
y calculamos la raíz cuadrada de cada miembro. Esto genera las dos primeras
fórmulas mitad de ángulo. En el caso de la fórmula mitad de ángulo para la
tangente, tenemos
tan
u
2 1 cos u
B 1 cos u
a 1 cos u cos u
ba1 B 1 cos u 1 cos u b
B
11 cos u2 2
1 cos 2 u
0 1 cos u 0
0 sen u 0
Multiplicación del numerador
y del denominador por
1 – cos u
Simplificación
2A 2 0 A 0
y 1 cos 2 u sen 2 u
Entonces, 1 – cos u es no negativo para todos los valores de u. Asimismo, es cierto
que sen u y tan1u/22 siempre tienen el mismo signo. Verifíquelo. Entonces,
se infiere que
tan u 2 1 cos u
sen u
La otra fórmula semiángulo para la tangente se deriva de ésta al multiplicar tanto el
numerador como el denominador por 1 cos u.
■
Ejemplo 5
Uso de la fórmula del semiángulo
Calcule el valor exacto de sen 22.5.
Solución Puesto que 22.5 es la mitad de 45, usamos la fórmula del semiángulo
para el caso del seno con u 45. Elegimos el signo porque 22.5 está en el primer
cuadrante.
sen
45°
2 1 cos 45°
B 2
B
1 12/2
2
B
2 12
4
1 232 22
Fórmula del semiángulo
cos 45° 12/2
Común denominador
Simplificación
■
Ejemplo 6 Uso de la fórmula del semiángulo
Determinación tan1u/22 si sen u 2 5 y u está en el cuadrante II.
Solución Para aplicar las fórmulas del semiángulo en el caso de la tangente, es
necesario determinar primero cos u. Puesto que el coseno es negativo en el cuadrante
II, tenemos
cos u 21 sen 2 u
21 A 2 5B 2 121
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