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830 CAPÍTULO 11 Sucesiones y series
Las siguientes propiedades de las sumas son consecuencias naturales de las propiedades
de los números reales.
Propiedades de las sumas
Sean a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , . . . y b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , . . . . sucesiones. Entonces para todo entero
positivo n y cualquier número real c, se cumplen las siguientes propiedades.
n
n
n
1. a 1a k b k 2 a a k a
k1
k1
k1
n
n
n
2. a 1a k b k 2 a a k a
k1
n
n
3. a ca k c a a a k b
k1
k1
b k
k1
b k
k1
■ Demostración Para demostrar la propiedad 1, escribimos el primer miembro
de la ecuación como
a 1a k b k 2 1a 1 b 1 2 1a 2 b 2 2 1a 3 b 3 2 . . . 1a n b n 2
Puesto que la adición es conmutativa y asociativa, podemos reacomodar los términos
en el segundo miembro para tener
n
n
k1
a 1a k b k 2 1a 1 a 2 a 3 . . . a n 2 1b 1 b 2 b 3 . . . b n 2
k1
Al volver a escribir el segundo miembro aplicando la notación sigma obtenemos
la propiedad 1. La propiedad 2 se demuestra de manera similar. Para demostrar la
propiedad 3, usamos la propiedad distributiva:
n
a ca k ca 1 ca 2 ca 3 . . . ca n
k1
c1a 1 a 2 a 3 . . . a n 2 c a a
n
k1
a k b
■
11.1 Ejercicios
1–10 ■ Determine los primeros cuatro términos y el centésimo
término de la sucesión.
1. a n n 1 2. a n 2n 3
3. a 4. a n n 2 n 1
1
n 1
5. a 6. a n 1 n 112n
n 2
n 2
7. a n 1 112 n 8. a n 112 n1 n
n 1
9. a n n n 10. a n 3
11–16 ■ Calcule los primeros cinco términos de la sucesión
definida recursivamente.
11. a n 21a n1 22 y a 1 3
12. a n a n1
2
y a 1 8
13. a n 2a n1 1 y a 1 1
1
14. a n
1 a n1
y a 1 1
15. a n a n1 a n2 y a 1 1, a 2 2
16. a n a n1 a n2 a n3 y a 1 a 2 a 3 1