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SECCIÓN 7.5 Ecuaciones trigonométricas 565
cos x 0 o 2 sen x 1 0 Cada factor se iguala a 0
sen x 1 2
Determinación de sen x
x p 2 , 3p 2
o x p 6 , 5p 6
Determinación de x en el intervalo [0, 2p)
El periodo tanto del seno como del coseno es 2p, de modo que obtenemos todas las
soluciones de la ecuación mediante la adición de un múltiplo entero cualquiera de
2p a estas soluciones. Por lo tanto, las soluciones son
x p 2 2kp, x 3p 2 2kp, x p 6 2kp, x 5p 6 2kp
donde k es un entero cualquiera.
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Ejemplo 7
Elevación al cuadrado y uso de una identidad
Resuelva la ecuación cos x 1 sen x en el intervalo [0, 2p2.
Solución Para obtener una ecuación que contenga sólo seno o sólo coseno, elevamos
ambos miembros y aplicamos la identidad pitagórica.
cos x 0 o bien
cos x 1 sen x
cos 2 x 2 cos x 1 sen 2 x
cos 2 x 2 cos x 1 1 cos 2 x
2 cos 2 x 2 cos x 0
2 cos x 1cos x 12 0
2 cos x 0 o bien cos x 1 0
cos x 1
Ecuación dada
Se elevan al cuadrado ambos
miembros
Identidad pitagórica
Simplificación
Factorización
Se iguala cada factor a 0
Determinación de cos x
x p 2 , 3p 2
o bien
x p
Determinación de x en el
intervalo [0, 2p)
Puesto que elevamos al cuadrado ambos lados, necesitamos comprobar si hay soluciones
extrañas. De acuerdo con Compruebe su respuesta observamos que las soluciones
de la ecuación dada son p/2 y p.
Compruebe su respuesta
x p : x 3p : x p:
2
2
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cos p 2 1 ? sen p 2
0 1 1
cos 3p 2 1 ? sen 3p 2
0 1 1
cos p 1 ? sen p
1 1 0
Si ejecutamos una operación en una ecuación que podría introducir nuevas raíces,
tal como elevar al cuadrado ambos miembros, entonces debemos verificar que las
soluciones que se obtienen no son extrañas; es decir, es necesario comprobar que
cumplen con la ecuación original, como en el ejemplo 7.