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SECCIÓN 1.9 Calculadoras para graficar y resolución de ecuaciones y desigualdades por métodos gráficos 103
National Portrait Gallery
Alan Turing (1912-1954) estuvo
en el centro de dos hechos determinantes
del siglo xx: la Segunda
Guerra Mundial y la invención de
las computadoras. Cuando tenía 23
años, Turing puso su marca en las
matemáticas al resolver un problema
importante de las bases matemáticas
que había planteado
David Gilbert en el Congreso Internacional
de Matemáticos de
1928 (véase pág. 708). En esta investigación
inventó una máquina teórica,
que en la actualidad se conoce
como máquina de Turing. Esta máquina
fue la inspiración para las
computadoras modernas digitales.
Durante la Segunda Guerra Mundial,
Turing estuvo a cargo del esfuerzo
que hicieron los británicos
para descifrar los códigos alemanes.
El éxito total que tuvo en esta
empresa tuvo un papel decisivo en
la victoria de los aliados. Para llevar
a cabo los numerosos pasos
lógicos requeridos para descifrar
un mensaje en código Turing elaboró
procedimientos de decisión similares
a los programas modernos
para las computadoras. Después de
la guerra ayudó a desarrollar las
primeras computadoras electrónicas
de los británicos. También fue
de los primeros en trabajar en la inteligencia
artificial y en modelos
para computadora de los procesos
biológicos. Turing murió envenenado
a la edad de 42 años
luego de comer una manzana que
había sido rociada misteriosamente
con cianuro.
Ejemplo 2
Dos gráficas en la misma pantalla
Grafique las ecuaciones y 3x 2 6x 1 y y 0.23x 2.25 juntas en el rectángulo
de visión 31, 34 por 32.5, 1.54. ¿Las gráficas se cortan en este rectángulo
de visión?
Solución La figura 3(a) muestra las características esenciales de ambas gráficas.
Una es una parábola y la otra es una recta. Se ve como si las gráficas se cortaran
cerca del punto 11, 22. Sin embargo, si hacemos un acercamiento de la zona que
rodea al punto como se muestra en la figura 3(b), observamos que aunque las gráficas
casi se tocan, en realidad no se intersecan.
Figura 3
De acuerdo con los ejemplos 1 y 2, vemos que la elección del rectángulo de visión
tiene gran importancia en el aspecto de la gráfica. Si usted desea una vista global de
la gráfica, tiene que seleccionar un rectángulo de visión relativamente grande para
ver la gráfica. En cambio, si desea investigar los detalles, debe efectuar un acercamiento
con un rectángulo de visión pequeño que muestre sólo la característica de
interés.
La mayor parte de las calculadoras con las que se pueden elaborar gráficas sólo
pueden graficar ecuaciones en las que y está aislada en un miembro. El siguiente
ejemplo muestra cómo graficar ecuaciones que no tienen esta propiedad.
Ejemplo 3
Gráfica de una circunferencia
Grafique la circunferencia x 2 y 2 1.
Solución
1.5
_1 3
_2.5
a)
Primero despejamos y, para que quede en un solo miembro.
y 2 1 x 2
y 21 x 2
_1.85
0.75 1.25
_2.25
b)
Se resta x 2
Obtención de las raíces cuadradas
Por lo tanto, la circunferencia se describe mediante las gráficas de dos ecuaciones:
y 21 x 2 and y y 21 x 2
■
La primera ecuación representa la mitad superior de la circunferencia (porque
y 0), y la segunda representa la mitad inferior de la circunferencia (porque
y 0). Si graficamos la primera ecuación en el rectángulo de visión 32, 24 por