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198 CAPÍTULO 2 Funciones
_5 2
4
_6
El valor mínimo
ocurre en x = _2.
1
_2 4
40
_6
El valor máximo
ocurre en x = 1.
15 70
0
El millaje máximo de
combustible ocurre a 42 km/h.
Ejemplo 4
Hallar valores máximos y mínimos
de funciones cuadráticas
Hallar el valor máximo o mínimo de cada función cuadrática.
a) f1x2 x 2 4x b) g1x2 2x 2 4x 5
Solución
a) Esta es una función cuadrática con a 1 y b 4. Por lo tanto, el valor máximo
o mínimo ocurre en
b
x
2a 4
2 #
2 1
Puesto que a 0, la función tiene el valor mínimo
b) Esta es una función cuadrática con a 2 y b 4. Así, el valor máximo o
mínimo ocurre en
b
x
2a 4
2 #
1 122
Puesto que a 0, la función tiene el valor máximo
Muchos problemas del mundo real tienen que ver con hallar un valor máximo o
mínimo para una función que modela una determinada situación. En el ejemplo siguiente
se encuentra el valor máximo de una función cuadrática que modela la cantidad
de millas recorridas de un automóvil.
Ejemplo 5
f122 122 2 4122 4
f112 2112 2 4112 5 3
Millaje máximo de combustible para un automóvil
La mayor parte de los automóviles obtienen su mejor millaje de combustible cuando
viajan a velocidad relativamente modesta. El millaje M para cierto automóvil
nuevo se modela mediante la función
1
M1s2
28 s2 3s 31, 15 s 70
donde s es la velocidad en millas/h y M se mide en millas/gal. ¿Cuál es el mejor
millaje de combustible para el automóvil y a qué velocidad se obtiene?
Solución La función M es una función cuadrática con a 1
28 y b 3. Así, su
valor máximo ocurre cuando
b
s
2a 3
1
2A 28B 42
1
El máximo es M1422 281422 2 31422 31 32. Así que el mejor millaje de
combustible del automóvil es 32 millas/gal, cuando está viajando a 42 millas/h. ■
■
Uso de dispositivos de graficación para hallar
valores extremos
Los métodos analizados se aplican para hallar valores extremos de funciones cuadráticas
solamente. Ahora se muestra cómo localizar valores extremos de cualquier
función que se puede graficar con una calculadora o computadora.