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SECCIÓN 1.8 Geometría analítica 89
Puesto que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo, mediante el teorema de
Pitágoras se obtiene
d1A, B2 2 0 x 2 x 1 0 2 0 y 2 y 1 0 2 21x 2 x 1 2 2 1y 2 y 1 2 2
Fórmula de la distancia
La distancia entre los puntos A1x 1 , y 1 2 y B1x 2 , y 2 2 en el plano es
d1A, B2 21x 2 x 1 2 2 1y 2 y 1 2 2
y
8
Q(8, 9)
Ejemplo 2 Aplicación de la fórmula para la distancia
¿Cuál de los puntos P11, 22 o Q18, 92 está más cerca al punto A15, 32?
6
Solución
Según la fórmula de la distancia, tenemos
4
2
A(5, 3)
d1P, A2 215 12 2 33 1224 2 24 2 5 2 141
d1Q, A2 215 82 2 13 92 2 2132 2 162 2 145
0
_2
P(1, _2)
4 8
x
Esto demuestra que d1P, A2 d1Q, A2, de modo que P está más cerca a A (véase la
figura 5).
■
Figura 5
Ahora determinemos las coordenadas 1x, y2 del punto medio M del segmento de
recta que une el punto A1x 1 , y 1 2 con el punto B1x 2 , y 2 2. En la figura 6 vemos que los
triángulos APM y MQB son congruentes porque d1A, M2 d1M, B2 y los ángulos
correspondientes son iguales.
y
Punto medio
B(x¤, y¤)
A(x⁄, y⁄)
x-x⁄
M(x, y)
P
x¤-x
Q
Figura 6
0
x
Se infiere entonces que d1A, P2 d1M, Q2 y que
x x 1 x 2 x
Al determinar el valor de x, en esta ecuación, tenemos 2x x 1 x 2 , y entonces
. De igual manera, y y 1 y 2
x x 1 x 2
.
2
2