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614 CAPÍTULO 8 Coordenadas polares y vectores
Ejemplo 7
Calcular una ruta
Una mujer bota una lancha desde la orilla de un río recto y quiere desembarcar en
el punto directamente en la orilla opuesta. Si la velocidad de la lancha (con respecto
al agua) es de 10 millas/h y el río fluye al este a la velocidad de 5 millas/h, ¿en qué
dirección debe dirigir la lancha a fin de llegar al punto deseado?
Figura 16
Solución Se elige un sistema coordenado con el origen en el punto inicial de la
lancha como se muestra en la figura 16. Sean u y v las velocidades del río y la lancha,
respectivamente. Es claro que u 5i y, puesto que la velocidad de la lancha es de
10 millas/h, se tiene 0 v 0 10, por lo tanto
v 110 cos u2i 110 sen u2j
donde el ángulo u es como se muestra en la figura 16. El curso verdadero de la lancha
está dado por el vector w u v. Se tiene
w u v 5i 110 cos u2i 110 sen u2j
15 10 cos u2i 110 sen u2j
Puesto que la mujer quiere tocar tierra en un punto directamente opuesto al río, su
dirección debe tener un componente horizontal 0. En otras palabras, se debe elegir
u de tal manera que
5 10 cos u 0
1
cos u 2
u 120°
Por consiguiente, ella debe dirigir la lancha en la dirección u 120 (o N 30 W).
■
La fuerza también está representada por un vector. De manera intuitiva, se puede
considerar que la fuerza describe la acción de empujar o jalar un objeto, por ejemplo,
un empuje horizontal de un libro por una mesa o la atracción hacia abajo de la
gravedad terrestre sobre una pelota. La fuerza se mide en libras (o en newtons, en el
sistema métrico). Por ejemplo, un hombre que pesa 200 libras ejerce una fuerza de
200 lb hacia abajo sobre el suelo. Si varias fuerzas actúan sobre un objeto, la fuerza
resultante que experimenta el objeto es la suma vectorial de estas fuerzas.
y
0
Figura 17
F¤ F⁄
150*
45*
P
x
Ejemplo 8
Fuerza resultante
Dos fuerzas F 1 y F 2 con magnitudes 10 y 20 lb, respectivamente, actúan sobre un
objeto en un punto P como se ilustra en la figura 17. Encuentre la fuerza resultante
que actúa en P.
Solución
Se escribe F 1 y F 2 en la forma de componentes:
12
F 1 110 cos 45°2i 110 sen 45°2j 10
2 i 10 12
j 512i 512 j
2
F 2 120 cos 150°2i 120 sen 150°2j 20
1013i 10 j
13
2 i 20 a 1 2 b j