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652 CAPÍTULO 9 Sistemas de ecuaciones y desigualdades
y cambiarlo en un sistema con forma triangular que tiene las mismas soluciones que
el sistema original. Para iniciar se muestra cómo usar la sustitución para resolver un
sistema que ya está en la forma triangular.
Pierre de Fermat (1601-1665)
fue un abogado francés que se interesó
en las matemáticas a la edad
de 30 años. A causa de sus ocupaciones,
Fermat tenía poco tiempo
para desarrollar demostraciones
completas de sus descubrimientos
por lo que, con frecuencia, las escribía
en el margen de cualquier
libro que estuviera leyendo en ese
momento. Después de su muerte,
su ejemplar de la Aritmética de
Diofanto (véase la página 20) contenía
un comentario particularmente
provocador. Donde Diofanto analiza
las soluciones de x 2 y 2 z 2
(por ejemplo, x 3, y 4, z 5),
Fermat establece en el margen que
para n 3 no hay soluciones con
números naturales para la ecuación
x n y n z n . En otras palabras, es
imposible que un cubo sea igual a
la suma de dos cubos, que una
cuarta potencia sea igual a la suma
de dos cuartas potencias, y así sucesivamente.
Fermat escribe “He
descubierto una demostración verdaderamente
maravillosa para esto,
pero el margen es demasiado pequeño
y no cabe”. Todos los otros
comentarios de los márgenes en el
ejemplar de Fermat de la Aritmética
han sido demostrados, pero éste en
particular sigue sin ser demostrado,
y se le ha llegado a conocer como el
“Último teorema de Fermat”.
En 1994, Andrew Wiles de
Princeton University anunció la demostración
del Último teorema
de Fermat, algo asombroso 350 años
después de que fue supuesto. Su demostración
es uno de los resultados
matemáticos dados a conocer
más ampliamente en las publicaciones
populares.
Ejemplo 1
Resolución de un sistema triangular
usando sustitución
Resuelva el sistema usando la sustitución:
Solución De acuerdo con la última ecuación sabemos que z 3. Sustituimos
este valor en la segunda ecuación y determinamos y.
y 2132 5
y 1
Sustitución de z 3 en la ecuación 2
Determinación de y
Luego se sustituye y 1 y z 3 en la primera ecuación y determinamos x.
x 2112 132 1
x 2y z 1
• y 2z 5
z 3
x 2
Sustitución de y 1 y z 3 en la ecuación 1
Determinación de x
Ecuación 1
Ecuación 2
Ecuación 3
La solución del sistema es x 2, y 1 y z 3. También se puede escribir la
solución como una terna ordenada 12, 1, 32.
Para pasar de un sistema de ecuaciones lineales a un sistema equivalente, es
decir, a un sistema con las mismas soluciones que el sistema original, aplicamos el
método de eliminación. Esto quiere decir que usamos las operaciones siguientes.
Operaciones que generan un sistema equivalente
1. Sume un múltiplo no cero de una de las ecuaciones a la otra.
2. Multiplique una ecuación por una constante no cero.
3. Intercambie las posiciones de dos ecuaciones.
Para resolver un sistema lineal, se ejecutan estas operaciones para modificar el sistema
en un sistema triangular equivalente. Luego se aplica la sustitución como en el
ejemplo 1. Este proceso se denomina eliminación de Gauss.
Ejemplo 2
Resolución de un sistema de tres
ecuaciones con tres variables
Resuelva el sistema aplicando la eliminación de Gauss.
x 2y 3z 1
• x 2y z 13
3x 2y 5z 3
Ecuación 1
Ecuación 2
Ecuación 3
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