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392 Enfoque en el modelado
Antes de que se volvieran comunes las calculadoras para gráficas y el software de
estadística, los modelos exponenciales y de potencia para datos solían construirse
encontrando primero un modelo lineal para los datos linealizados. Luego se hallaba
el modelo para los datos reales tomando exponenciales. Por ejemplo, si se encuentra
que y A ln x B, entonces al tomar exponenciales se obtiene el modelo
y e B e A ln x o y Cx A (donde C e B ). Se empleaba papel de gráficas especial
llamado papel logarítmico o papel log-log para facilitar este proceso.
Modelado con funciones logísticas
Un modelo de crecimiento logístico es una función de la forma
f1t2
c
1 ae bt
donde a, b y c son constantes positivas. Las funciones logísticas se usan para modelar
poblaciones donde el crecimiento está restringido por los recursos disponibles.
(Véanse los ejercicios 69-72 de la sección 4.1.)
Ejemplo 4
Aprovisionamiento de un estanque con bagres
Tabla 7
Semana
Bagres
0 1000
15 1500
30 3300
45 4400
60 6100
75 6900
90 7100
105 7800
120 7900
Mucho del pescado que se vende en los supermercados en la actualidad se cría en
granjas pesqueras comerciales, y no son capturados en su hábitat natural. Un estanque
en una granja de este tipo es aprovisionado al inicio con 100 bagres, y la
población de peces se muestrea después a intervalos de 15 semanas para estimar su
tamaño. Los datos de población se dan en la tabla 7.
a) Encuentre un modelo apropiado para los datos.
b) Construya un diagrama de dispersión de los datos y grafique el modelo que encontró
en el inciso a) en el diagrama de dispersión.
c) ¿Cómo predice el modelo que la población de peces cambiará con el tiempo?
Solución
a) Puesto que la población de bagres está restringida por su hábitat (el estanque),
es apropiado un modelo logístico. Por medio del comando Logistic en una
calculadora (véase la figura 12(a)), se encuentra el siguiente modelo para la
población de peces P1t2:
P1t2
7925
1 7.7e 0.052t
9000
Figura 12
0 180
0
a) b) Población de bagres y = P(t)
b) El diagrama de dispersión y la curva logística se muestran en la figura 12(b).