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786 CAPÍTULO 10 Geometría analítica
Fórmulas del doble de un ángulo
sen 2f 2 sen f cos f
cos 2f cos 2 f sen 2 f
D¿ D cos f E sen f
E¿ D sen f E cos f
F¿ F
Para eliminar el término XY, se elegiría f de modo que B0, es decir,
2 1C A2 sen f cos f B1cos 2 f sen 2 f2 0
1C A2 sen 2f B cos 2f 0
Fórmula del doble
de un ángulo para
seno y coseno
cot 2f A C
B
El cálculo precedente prueba el siguiente teorema.
B cos 2f 1A C2 sen 2f
Divida entre B sen 2f
Simplificación de la ecuación cónica general
Para eliminar el término xy en la ecuación cónica general
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
gire los ejes por un ángulo agudo f que satisface
cot 2f A C
B
Ejemplo 3
Eliminar el término xy
Use una rotación de ejes para eliminar el término xy en la ecuación
Identifique y bosqueje la curva.
Solución Para eliminar el término xy, se hacen girar los ejes por un ángulo f
que satisface
Así, 2f 60 y, por lo tanto, f 30. Con este valor de f, se obtiene
Fórmulas de rotación de ejes
La sustitución de estos valores por x y y en la ecuación conduce a
613 a X13
2
Y 2 b 2
6 a X13
2
613x 2 6xy 413y 2 2113
cot 2f A C
B
x X a 13
2 b Y a 1 2 b
y X a 1 2 b Y a 13
2 b
613 413
6
13
3
cos f 13
2 , sen f 1 2
Y 2 baX 2 Y13
2 b 413 a X 2 Y13
2 b 2
2113