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SECCIÓN 4.5 Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas 371
30
n(t)=6.1e 0.014t
Ejemplo 2
Comparar diferentes tasas de crecimiento
poblacional
En el año 2000 la población del mundo fue 6.1 miles de millones y la tasa relativa
de crecimiento fue 1.4% por año. Se afirma que una tasa de 1% por año haría una
diferencia importante en la población total en sólo unas décadas. Pruebe esta afirmación
estimando la población del mundo en el año 2050 con una tasa relativa de
crecimiento de a) 1.4% por año y b) 1.0% por año.
Grafique las funciones de población para los siguientes 100 años para las dos
tasas de crecimiento en el mismo rectángulo de visión.
Solución
a) Por el modelo de crecimiento exponencial, se tiene
n1t2 6.1e 0.014t
donde n1t2 se mide en miles de millones y t se mide en años desde 2000. Debido
a que el año 2050 es 50 años después de 2000, se encuentra
n1502 6.1e 0.014 1502 6.1e 0.7 12.3
La población estimada en el año 2050 es aproximadamente 12.3 miles de
millones.
b) Se usa la función
n1t2 6.1e 0.010t
0 100
Figura 2
n(t)=6.1e 0.01t
y se encuentra que n1502 6.1e 0.0101502 6.1e 0.50 10.1
La población estimada en el año 2050 es aproximadamente 10.1 miles de
millones.
Las gráficas de la figura 2 muestran que un cambio pequeño en la tasa relativa de
crecimiento, con el tiempo, hará una gran diferencia en el tamaño de la población. ■
Ejemplo 3
Hallar la población inicial
Cierta raza de conejos se introdujo en una pequeña isla hace unos ocho años. La
población actual de conejos en la isla se estima en 4100, con una tasa de crecimiento
relativa de 55% por año.
a) ¿Cuál fue el tamaño inicial de la población de conejos?
b) Estime la población 12 años a partir de ahora.
Solución
a) Del modelo de crecimiento exponencial, se tiene
n1t2 n 0 e 0.55t
y se sabe que la población en el tiempo t 8 es n182 4100. Se sustituye lo
que se conoce en la ecuación y se despeja n 0 :
4100 n 0 e 0.55182
n 0 4100 4100
e 0.55182 81.45 50
Así, se estima que se introdujeron en la isla 50 conejos.