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332 CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
Ejemplo 5
Comparación de funciones exponenciales
y de potencia
Compare las tasas de crecimiento de la función exponencial f1x2 2 x y la función
de potencia g1x2 x 2 dibujando las gráficas de ambas funciones en los siguientes
rectángulos de visión.
a) 30, 34 por 30, 84 b) 30, 64 por 30, 254
c) 30, 204 por 30, 10004
Solución
a) En la figura 4(a) se muestra que la gráfica de g1x2 x 2 alcanza a, y se vuelve
mayor que, la gráfica de f1x2 2 x en x 2.
b) El rectángulo de visión más grande de la figura 4(b) muestra que la gráfica de
f1x2 2 x sobrepasa a la de g1x2 x 2 cuando x 4.
c) En la figura 4(c) se da una visión más global y se muestra que, cuando x es
grande, f1x2 2 x es mucho más grande que g1x2 x 2 .
8
25
1000
Ï=2 x ˝=≈
˝=≈
Ï=2 x
Ï=2 x
˝=≈
0 3
Figura 4
a)
0 6
b)
0 20
c)
■
n
a 1 1 n b n
1 2.00000
5 2.48832
10 2.59374
100 2.70481
1000 2.71692
10 000 2.71815
100 000 2.71827
1 000 000 2.71828
La notación e la eligió Leonhard Euler
(véase la página 288), probablemente
porque es la primera letra de la palabra
exponencial.
Función exponencial natural
Cualquier número positivo se puede usar como base para una función exponencial,
pero algunas bases se usan con más frecuencia que otras. Se verá en las secciones
restantes de este capítulo que las bases 2 y 10 son convenientes para ciertas aplicaciones,
pero la base más importante es el número denotado por la letra e.
El número e se define como el valor al que se aproxima 11 1/n2 n cuando n se
vuelve grande. (En cálculo esta idea se hace más precisa por el concepto de límite.
Véase el ejercicio 55.) En la tabla del margen se muestran los valores de la expresión
11 1/n2 n para valores de n cada vez más grandes. Parece ser que, correcto
hasta cinco cifras decimales, e 2.71828; de hecho, el valor aproximado a 20 lugares
decimales es
e 2.71828182845904523536
Se puede demostrar que e es un número racional, así que no se puede escribir su valor
exacto en forma decimal.
¿Por qué usar una base tan extraña para una función exponencial? Podría parecer
en primera instancia que es más fácil trabajar con una base como 10. Sin embargo, se
verá que en ciertas aplicaciones el número e es la mejor base posible. En esta sección
se estudia cómo aparece e en la descripción del interés compuesto.