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SECCIÓN 9.5 Álgebra de matrices 681
El ejemplos siguiente muestra que aun cuando tanto AB como BA están definidos,
no son necesariamente iguales. Este resultado demuestra que la multiplicación de
matrices no es conmutativa.
Ejemplo 5 La multiplicación de matrices no es conmutativa
Sea
A c 5 7
y B c 1 2
3 0 d 9 1 d
Calcule los productos AB y BA.
Solución Puesto que tanto la matriz A como la B tienen dimensiones 2 2, ambos
productos AB y BA están definidos, y cada uno también es una matriz 2 2.
5 7
AB c
3 0 d c 1 2
9 1 d c 5 # 1 7 # 9 5 # 2 7 # 112
132 # 1 0 # 9 132 # 2 0 #
d 112
c 68 3
3 6 d
BA c 1 2
9 1 d c 5 7
3 0 d c 1 # 5 2 # 132 1 # 7 2 # 0
9 # 5 112 # 132 9 # 7 112 # 0
d
c 1 7
48 63 d
Esto demuestra que, en general, AB BA. En efecto, en este ejemplo AB y BA no
tienen un elemento común.
■
Aplicaciones de la multiplicación de matrices
Ahora consideramos algunos ejemplos de aplicación que muestran por qué los matemáticos
han escogido esta manera aparentemente extravagante para definir el producto
de matrices. El ejemplo 6 permite ver cómo esta definición de producto de
matrices facilita expresar un sistema lineal de ecuaciones como una ecuación de una
sola matriz.
Las ecuaciones matriciales como
ésta se estudian con más detalle en
la página 694.
Ejemplo 6
Expresar un sistema de ecuaciones
como una ecuación matricial
Demuestre que la siguiente ecuación matricial es equivalente al sistema de ecuaciones
del ejemplo 2 de la sección 9.4.
1 1 3 x 4
£ 1 2 2 § £ y § £ 10 §
3 1 5 z 14
Solución Si ejecutamos la multiplicación de matrices en el lado izquierdo de la
ecuación tenemos
x y 3z 4
£ x 2y 2z § £ 10 §
3x y 5z 14