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SECCIÓN 12.5 Áreas 917
el ancho. El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura. El área de un
polígono se encuentra dividiéndolo en triángulos (como en la figura 2) y sumando las
áreas de los triángulos.
A¤ A‹
„
h
A⁄
A›
l
b
Figura 2
A=l„
1
A=
2
bh
A=A⁄+A¤+A‹+A›
Sin embargo, no es fácil hallar el área de una región con lados curvos. Todos tenemos
una idea intuitiva de lo que es el área de una región. Pero parte del problema del
área es hacer esta idea intuitiva precisa al dar una definición exacta de área.
Recuerde que para definir una tangente primero se aproximó la pendiente de la
tangente mediante pendientes de secantes y luego se tomó el límite de estas aproximaciones.
Se sigue una idea similar para las áreas. Primero se aproxima la región S
mediante rectángulos, y luego se toma el límite de las áreas de estos rectángulos
cuando se incrementa el número de rectángulos. En el siguiente ejemplo se ilustra el
procedimiento.
y
(1, 1)
Ejemplo 1
Estimar un área por medio de rectángulos
y=≈
Use rectángulos para estimar el área bajo la parábola y x 2 de 0 a 1 (la región
parabólica S ilustrada en la figura 3).
0 1
Figura 3
S
x
Solución Se observa primero que el área de S debe estar en alguna parte entre 0
y 1 porque S está contenida en un cuadrado con longitud lateral 1, pero por supuesto
se puede hacer algo mejor que eso. Suponga que S se divide en cuatro tiras S 1 , S 2 ,
S 3 y S 4 dibujando líneas verticales x 1 4, x 1 2 y x 3 4 como en la figura 4a). Se
puede aproximar cada tira mediante un rectángulo con la misma base que la tira y cuya
altura es la misma que el lado derecho de la tira (véase la figura 4b)). En otras palabras,
las alturas de estos rectángulos son los valores de la función f1x2 x 2 en
1
los puntos finales derechos de los subintervalos 30, 44, 3 1 1
4, 24, 3 1 3
2, 44 y 3 3 4, 14.
y
y
y=≈
(1, 1)
y=≈
(1, 1)
S⁄
S¤
S‹
S›
0 1 1 3 1
4 2 4
x
0 1 1 3 1
4 2 4
x
Figura 4 a)
b)