7nxQnvJSe

SECCIÓN 12.3 Rectas tangentes y derivadas 899
y=≈
Figura 2
y
0
QÓ
≈Ô
t
P (1, 1)
x
una aproximación a m si se elige un punto cercano Q1x, x 2 2 en la parábola (como en
la figura 2) y se calcula la pendiente m PQ de la secante PQ.
Se elige x 1 de modo que Q P. Entonces
m PQ x 2 1
x 1
Ahora se permite que x se aproxime a 1, de modo que Q se aproxima a P a lo largo
de la parábola. En la figura se muestra cómo las secantes correspondientes rotan
respecto a P y se aproximan a la recta tangente t.
y
Q
t
y
t
y
t
Q
Q
P
P
P
0
x
0
x
0
x
Q se aproxima a P por la derecha
y
y
y
t
t
t
Q
0
P
x
Q
0
P
x
0
Q
P
x
Q se aproxima a P por la izquierda
Figura 3
La pendiente de la tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes:
m lím m PQ
QP
Por lo tanto, usando el método de la sección 12.2, se tiene
x 2 1
m lím
x1 x 1 lím 1x 121x 12
x1 x 1
La forma punto-pendiente para la ecuación
de una recta que pasa por el punto
1x 1 , y 1 2 con pendiente m es
y y 1 m1x x 1 2
(Véase la sección 1.10.)
lím 1x 12 1 1 2
x1
Ahora que se sabe que la pendiente de la recta tangente es m 2, se puede usar la
forma punto-pendiente de la ecuación de una recta para encontrar su ecuación:
y 1 21x 12 o y 2x 1