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90 CAPÍTULO 1 Fundamentos
Fórmula del punto medio
El punto medio del segmento de recta desde A1x 1 , y 1 2 a B1x 2 , y 2 2 es
a x 1 x 2
2
, y 1 y 2
b
2
y
R
8
S
4
Q
P
0 4
Figura 7
x
Ejemplo 3
Aplicación de la fórmula del punto medio
Demuestre que el cuadrilátero con vértices P11, 22, Q14, 42, R15, 92 y S12, 72 es un
paralelogramo al probar que sus dos diagonales se bisecan.
Solución Si las dos diagonales tienen el mismo punto medio, entonces deben
bisecarse. El punto medio de la diagonal PR es
a 1 5 , 2 9 b a 3, 11 2 2
2 b
y el punto medio de la diagonal QS es
a 4 2
2
, 4 7 b a 3, 11 2
2 b
de modo que ambas diagonales se bisecan, como se ilustra en la figura 7. (Un
teorema de la geometría elemental establece que el cuadrilátero es por lo tanto un
paralelogramo.)
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Principio fundamental
de la geometría analítica
Un punto 1x, y2 pertenece a una
gráfica de una ecuación si y sólo si sus
coordenadas satisfacen la ecuación.
Gráficas de las ecuaciones con dos variables
Una ecuación de dos variables, tal como y x 2 1, expresa una relación entre dos
cantidades. Un punto 1x, y2 satisface la ecuación si la ecuación es verdadera cuando
los valores para x y y se sustituyen en dicha ecuación. Por ejemplo, el punto (3, 10)
satisface la ecuación y x 2 1 porque 10 3 2 1, pero el punto (1, 3) no porque
3 1 2 1.
Gráfica de una ecuación
La gráfica de una ecuación con x y y es el conjunto de todos los puntos
del plano coordenado que satisfacen la ecuación.
1x, y2
La gráfica de una ecuación es una curva, de modo que para graficar una ecuación
trazamos tantos puntos como podamos y, luego, los unimos por medio de una curva
suave.
Ejemplo 4
Trazo de una gráfica mediante la ubicación
de puntos
Trace la gráfica de la ecuación 2x y 3.
Solución
Primero resolvemos la ecuación para encontrar el valor de
y 2x 3