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AVANCE
PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO, QUINTA EDICIÓN
Matemáticas
para situaciones
cotidianas
Los estudiantes encontrarán un gran acervo de aplicaciones
del mundo real y ejemplos de ingeniería, física, química,
negocios, biología, estudios ambientales y de otros campos.
Mediante el Enfoque en el modelado, los autores señalan
continuamente la pertinencia del pensamiento matemático
para modelar situaciones de la vida cotidiana.
cos x 0 o 2 sen x 1 0 Cada factor se iguala a 0
sen x 1 Determinación de sen x
2
x p 2 , 3p 2
o x p 6 , 5p 6
Las viñetas de Matemáticas en el mundo moderno
revelan la importancia de las matemáticas como una
ciencia viva, decisiva para el progreso científico y
técnico de los tiempos recientes, pero también para
las ciencias sociales, de la conducta y de la vida. Los
estudiantes encontrarán también viñetas biográficas
que presentan reflexiones de varios matemáticos
relativas a los conceptos preliminares del cálculo.
Determinación de x en el intervalo [0, 2p)
El periodo tanto del seno como del coseno es 2p, de modo que obtenemos todas las
soluciones de la ecuación mediante la adición de un múltiplo entero cualquiera de
2p a estas soluciones. Por lo tanto, las soluciones son
x p 2 2kp, x 3p 2 2kp, x p 6 2kp, x 5p 6 2kp
donde k es un entero cualquiera.
SECCIÓN 7.5 Ecuaciones trigonométricas 565
Ejemplo 7 Elevación al cuadrado y uso de una identidad
Resuelva la ecuación cos x 1 sen x en el intervalo [0, 2p2.
Solución Para obtener una ecuación que contenga sólo seno o sólo coseno, elevamos
ambos miembros y aplicamos la identidad pitagórica. Julia Robinson (1919-1985) nació
en San Luis Missouri, y creció
cos x 1 sen x Ecuación dada
en Point Loma, California. Debido
cos 2 x 2 cos x 1 sen 2 x Se elevan al cuadrado ambos
a una enfermedad, no asistió a la
miembros
escuela dos años, pero después con
cos 2 x 2 cos x 1 1 cos 2 x Identidad pitagórica
ayuda de un tutor, terminó el quin-
sexto, séptimo y octavo grados
2 cos 2 x 2 cos x 0
Simplificaciónto,
2 cos x 1cos x 12 0
Factorizaciónen solo un año. Más tarde, en la
2 cos x 0 o bien cos x 1 0
Se iguala cada San factor Diego a 0 State University, al leer
cos x 0 o bien cos x 1 Determinación las de cos biografías x de matemáticos en
Determinación de x en el
x p x p
2 , 3p Men of Mathematics de E. T. Bell se
o bien
2
intervalo [0, 2p) despertó en ella lo que llegó a ser
una pasión de toda su vida por las
Puesto que elevamos al cuadrado ambos lados, necesitamos comprobar matemáticas. si hay soluciones
extrañas. De acuerdo con Compruebe su respuesta observamos que las solucio-
Decía “No creo exagerar
al destacar la importancia de
nes de la ecuación dada son p/2 y p.
esos libros... en la vida intelectual
■
de un estudiante.” Robinson es famosa
por su trabajo sobre el décimo
Compruebe su respuesta
x p : x 3p : problema x p:
de Hilbert (página 708), el
2
2
cual pide un procedimiento general
cos p cos 3p cos p 1 ? sen p
2 1 ? sen 3p 2 1 ? sen p para determinar si una ecuación
2
2
tiene soluciones con números enteros.
Sus ideas dieron origen a una
0 1 1
0 1 1
1 1 0
Si ejecutamos una operación en una ecuación que podría introducir respuesta nuevas raíces, completa al problema. Es
tal como elevar al cuadrado ambos miembros, entonces debemos interesante verificar que las hacer notar que la respuesta
comprobar se que relacionaba con ciertas
soluciones que se obtienen no son extrañas; es decir, es necesario
cumplen con la ecuación original, como en el ejemplo 7.
propiedades de los números de Fibonacci
(página 826) descubiertas
por el entonces matemático ruso de
22 años Yuri Matijasevič. Como
resultado de su brillante trabajo sobre
el décimo problema de Hilbert,
le ofrecieron una cátedra en la Universidad
de California, Berkeley, y
se convirtió en la primera mujer
matemática elegida a la Academia
Nacional de Ciencias de Estados
Unidos. También fue presidenta de
la American Mathematical Society.
Todos los capítulos comienzan con un Esquema del capítulo, en el que se presentan
las ideas principales y se indican cómo aplicarlas en contextos reales.
The National Academy of Sciences
■
S
A
M
m
c
c
r
b
S
e
l
l
S
a
Enfoque en el modelado
Mapeo del mundo
Figura 1
El punto P sobre la Tierra se
proyecta sobre el punto P sobre
el cilindro mediante un rayo
desde el centro de la Tierra C.
Figura 2
El método usado para medir y elaborar un mapa (página 522) funciona bien para
áreas pequeñas. Pero trazar el mapa del mundo entero introduciría una nueva dificultad:
¿cómo se representa el mundo esférico mediante un mapa plano? Se han desarrollado
varios métodos ingeniosos.
Proyección cilíndrica
Un método es la proyección cilíndrica. En este método se imagina un cilindro que
envuelve a la Tierra en el ecuador como en la figura 1. Cada punto sobre la tierra se
proyecta sobre el cilindro mediante un rayo que emana del centro de la Tierra. El cilindro
extendido es el mapa plano deseado del mundo. El proceso se ilustra en la figura
2.
a) Proyección cilíndrica b) Mapa de proyección cilíndrica
Por supuesto, en realidad no se puede envolver una gran pieza de papel alrededor
del mundo, de modo que este proceso completo se debe hacer matemáticamente, y la
herramienta que se necesita es trigonometría. En el cilindro extendido se toma el
eje x para que corresponda con el ecuador y el eje y con el meridiano de Greenwich,
Inglaterra (longitud 0º). Sea R el radio de la Tierra y P el punto sobre la Tierra en longitud
a E y latitud b N. El punto P se proyecta hasta el punto P1x, y2 sobre el
cilindro (visto como parte del plano coordenado) donde
x a p
Fórmula para la longitud de un arco circular
180 b aR
y R tan b Definición de tangente
Véase la figura 2a). Estas fórmulas se pueden usar entonces para trazar el mapa.
(Observe que la longitud oeste y la latitud sur corresponden a valores negativos de
a y b, respectivamente.) Por supuesto, usar R como el radio de la Tierra produciría
un mapa enorme, así que se remplaza R por un valor más pequeño para obtener un
mapa a una escala apropiada como en la figura 2b).
Los capítulos 2 al 12 cuentan con una sección Enfoque en
el modelado, en la que se ilustran técnicas para modelar,
así como la manera en la que los conceptos preliminares
del cálculo se pueden aplicar en situaciones de la vida
real. Seis de dichas secciones de esta edición son nuevas,
y cuentan con aplicaciones de gran interés que van desde
la topografía hasta la agricultura. Además de estas secciones
se incluyen muchos problemas aplicados, que dan al
estudiante un modelo para analizar, así como problemas
en los cuales se pide a los estudiantes que construyan
modelos para situaciones de la vida cotidiana.
Courtesy of NASA
8.1 Coordenadas polares
8.2 Gráficas de ecuaciones polares
8.3 Forma polar de números complejos; teorema de DeMoivre
8.4 Vectores
8.5 Producto punto
Esquema del capítulo
En este capítulo se estudian las coordenadas polares, una nueva forma de describir la
ubicación de puntos en un plano.
Un sistema coordenado es un método para especificar la ubicación de un punto en
el plano. Estamos familiarizados con coordenadas rectangulares (o cartesianas). En
las coordenadas rectangulares la ubicación de un punto está dada por un par ordenado
1x, y2, que da la distancia del punto a dos ejes perpendiculares. Usar coordenadas
rectangulares es como describir una ubicación en una ciudad diciendo que está en la
esquina de la calle 2 y la cuarta avenida. Pero se podría describir también este mismo
lugar diciendo que está una y media millas al noreste del City Hall. Por lo tanto,
en vez de especificar el lugar con respecto a una cuadrícula de calles y avenidas, se
especifica dando su distancia y dirección a partir de un punto de referencia fijo. Eso
es lo que se hace en el sistema de coordenadas polares. En coordenadas polares la
ubicación de un punto está dado por un par ordenado 1r, u2 donde r es la distancia del
origen (o polo) y u es el ángulo desde el eje x positivo (véase la figura a continuación).
y
P(r, ¨)
0
¨
r
¿Por qué se estudian diferentes sistemas coordenados? Porque ciertas curvas se
describen de manera más natural en un sistema coordenado que en otro. En coordenadas
rectangulares se pueden dar ecuaciones simples para líneas, parábolas o curvas
cúbicas, pero la ecuación de un círculo es bastante complicada (y no es una función).
En coordenadas polares, se pueden dar ecuaciones simples para círculos, elipses, rosas
y figuras de números 8: curvas que es difícil describir en coordenadas rectangulares.
Así, por ejemplo, es más natural describir la trayectoria de un planeta alrededor
del Sol en términos de distancia a partir de este astro y el ángulo de desplazamiento,
en otras palabras, en coordenadas polares. También proporcionaremos representaciones
en coordenadas polares de números complejos. Como se verá, es fácil multiplicar
números complejos si se escriben en forma polar.
En este capítulo también se utilizan coordenadas para describir cantidades dirigidas
o vectores. Cuando se habla de temperatura, masa o área, se necesita sólo un número.
Por ejemplo, podemos expresar que la temperatura es de 70ºF. Pero cantidades como
la velocidad o la fuerza son cantidades dirigidas, porque se relacionan con dirección
así como con magnitud. Así, se dice que un bote navega a 10 nudos al noreste. Esto
x
y
x
P'
y
581
x