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SECCIÓN 7.5 Ecuaciones trigonométricas 567
Solución
a) Empezamos por aislar tan 1x/22.
13 tan x Ecuación dada
2 1 0
13 tan x 2 1
Suma de 1
tan
x
2 1 13
División entre 13
x
x
p
Determinación de en el intervalo a
2 , p 2 p 6
2
2 b
Como la tangente tiene periodo p, para obtener todas las soluciones adicionamos
cualquier múltiplo entero de p a esta solución. Por lo tanto, las soluciones
son de la forma.
x
2 p 6 kp
Al multiplicar por 2, obtenemos las soluciones
donde k es cualquier entero.
x p 3 2kp
b) Las soluciones del inciso a) que están en el intervalo [0, 4p2 corresponden a
k 0 y k 1. Para todos los otros valores de k, los valores correspondientes
de x quedan fuera de este intervalo. Por lo tanto, las soluciones en el intervalo
[0, 4p2 son
x p 3 , 7p 3
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Aplicación de las funciones trigonométricas
inversas para resolver ecuaciones trigonométricas
Hasta este momento, todas las ecuaciones que hemos resuelto tienen soluciones
como p/4, p/3, 5p/6 y así sucesivamente. Pudimos calcular las soluciones a partir
de los valores especiales de las funciones trigonométricas que hemos memorizado.
A continuación consideramos ecuaciones cuya solución requiere que usemos las
funciones trigonométricas inversas.
Ecuación de tipo cuadrático
T 2 T 2 0
1T 221T 12 0
Ejemplo 10
Aplicación de las funciones
trigonométricas inversas
Resuelva la ecuación tan 2 x tan x 2 0.
Solución
Empezamos por factorizar el primer miembro.
tan x 2 0 o bien tan x 1 0
tan x 2 o bien
tan 2 x tan x 2 0
1tan x 221tan x 12 0
tan x 1
x tan 1 p
2 o bien x
4
Ecuación dada
Factorización
Se iguala cada factor a 0
Determinación de tan x
Determinación de x en el
p
intervalo a
2 , p 2 b