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Enfoque en el modelado
Modelado con sucesiones recursivas
Muchos procesos del mundo real se presentan por etapas. El crecimiento de la población
se puede considerar que es uno de ellos: cada nueva generación representa una
nueva etapa en el crecimiento de la población. El interés compuesto se paga por etapas:
cada pago de interés crea un nuevo balance contable. Muchas cosas que cambian
en forma continua se miden con mayor facilidad en etapas discretas. Por ejemplo,
podemos medir a intervalos de una hora la temperatura de un objeto que se está enfriando
en forma continua. En esta sección aprenderemos a usar las sucesiones recursivas
en el modelado de tales situaciones. En algunos casos, es posible plantear una
fórmula explícita para una sucesión a partir de la relación de recursión que la define,
buscando un patrón en los términos de la sucesión.
Sucesiones recursivas como modelos
Suponga que usted deposita una cantidad en una cuenta que da 6% de interés compuesto
mensualmente. El banco tiene una regla definida para pagar el interés: al final
1
de cada mes el banco suma a la cuenta 2 % (es decir, 0.005) de la cantidad que hay en
su cuenta en ese momento. Expresamos esta regla como sigue:
cantidad al final de
este mes
cantidad al final del
último mes
0.005
cantidad al final del
último mes
Si se aplica la propiedad distributiva se puede escribir esto como
cantidad al final de
cantidad al final del
1.005
este mes
último mes
Para modelar esta proposición por medio del álgebra, sea A 0 la cantidad del depósito original,
A 1 la cantidad al final del primer mes, A 2 la cantidad al final del segundo mes y así
sucesivamente. Entonces, A n es la cantidad al final del n-ésimo mes. Por lo tanto,
A n 1.005A n1
Identificamos ésta como una sucesión definida recursivamente, es decir, da la cantidad
en cada etapa en términos de la cantidad que había en la etapa anterior.
0.005A n−1
A 0
A 1
A 2
A n−1
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