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SECCIÓN 10.2 Elipses 759
F⁄ F¤
Figura 10
Las elipses, como las parábolas, tienen una interesante propiedad de reflexión que
conduce a varias aplicaciones prácticas. Si se coloca una fuente de luz en un foco de
una superficie reflectora con secciones transversales elípticas, entonces toda la luz
se reflejará fuera de la superficie al otro foco, como se muestra en la figura 10. Este
principio, que funciona para ondas sonoras así como para la luz, se usa en litotricia,
un tratamiento para los cálculos renales. Se coloca al paciente en una tina de agua
con secciones transversales elípticas de tal manera que el cálculo renal se localiza con
exactitud en un foco. Las ondas sonoras de alta densidad generadas en el otro foco
se reflejan en el cálculo y lo destruyen con daño mínimo del tejido circundante. Al
paciente se le libera del traumatismo de la cirugía y se recupera en días en vez de
semanas.
La propiedad de reflexión de las elipses se emplea también en la construcción
de cúpulas susurrantes. El sonido que proviene de un foco rebota en paredes y techo de
un cuarto elíptico y pasa por el otro foco. En estas salas incluso susurros silenciosos
emitidos en un foco se pueden escuchar con claridad en el otro. Las cúpulas susurrantes
famosas son el Natural Statuary Hall del Capitolio de Estados Unidos en Washington,
D.C. (véase la página 771) y el Mormon Tabernacle en Salt Lake City, Utah.
10.2 Ejercicios
1–4 ■ Compare la ecuación con las gráficas marcadas I-IV. Dé 7. 9x 2 4y 2 36 8. 4x 2 25y 2 100
razones para sus respuestas.
9. x 2 4y 2 16 10. 4x 2 y 2 16
x 2
1. 2. x 2 y2
16 y2
4 1 9 1
11. 2x 2 y 2 3 12. 5x 2 6y 2 30
13. x 2 4y 2 1 14. 9x 2 4y 2 1
3. 4x 2 y 2 4 4. 16x 2 25y 2 400
1
15. 2 x 2 1 8 y2 1 4
16. x 2 4 2y 2
I y
II
17. y
y
2 1 2x 2 18. 20x 2 4y 2 5
1
0
1
x
1
0
1
x
19–24 ■ Encuentre una ecuación para la elipse cuya gráfica
se muestra.
19. 20.
y
4
y
5
III
y
IV
y
0
5
x
0
2
x
1
0
1
x
1
0
2
x
21. 22.
y
F(0, 2)
y
4 F(0, 3)
5–18 ■ Encuentre los vértices, focos y excentricidad de la elipse.
Determine las longitudes de los ejes mayor y menor, y bosqueje
su gráfica.
0
2
x
0
x
x 2
5. 6.
25 y2
9 1
x 2
16 y2
25 1