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374 CAPÍTULO 4 Funciones exponenciales y logarítmicas
Desechos radiactivos
Los isótopos radiactivos dañinos se
producen siempre que ocurra una
reacción nuclear, ya sea como resultado
de una prueba de bomba
atómica, un accidente nuclear como
el de Chernobyl en 1986 o la
producción de electricidad sin accidentes
en una planta nuclear.
Un material radiactivo producido
en bombas atómicas es el isótopo
estroncio 90 1 90 Sr2, con una
vida media de 28 años. Éste se deposita
como el calcio en el tejido
óseo humano, donde puede causar
leucemia y otros cánceres. Sin embargo,
en las décadas desde que se
detuvo la prueba atmosférica de armas
nucleares, las concentraciones
de 90 Sr en el ambiente han bajado a
un nivel que ya no representa una
amenaza para la salud.
Las plantas de energía nuclear
producen plutonio 239 radiactivo
1 239 Pu2, que tiene una vida media de
24 360 años. Como resultado de su
larga vida media, el 239 Pu podría
representar una amenaza para el
ambiente durante miles de años.
Por lo tanto, se debe tener mucho
cuidado para desecharlo en forma
apropiada. La dificultad de garantizar
la seguridad de los desechos radiactivos
eliminados es una razón
de que haya controversia en cuanto
a las plantas de energía nuclear.
obtener la tasa r a partir de esto como sigue. Si h es la vida media, entonces una
1
masa de 1 unidad se convierte en 2 unidad cuando t h. Al sustituir esto en el modelo,
se obtiene
Ejemplo 6
1 2 1 # e
rh
lnA 1 2B rh
r 1 h ln121 2
Decaimiento radiactivo
Tome el ln de cada lado
Despeje r
r ln 2
ln 2 1 In 2 por la ley 3
h
Esta última ecuación permite hallar la tasa r a partir de la vida media h.
Modelo de decaimiento radiactivo
m1t2 m o e rt
Si m 0 es la masa inicial de una sustancia radiactiva con vida media h, entonces
la masa restante en el tiempo t se modela mediante la función
donde r ln 2 .
h
m1t2 m 0 e rt
El polonio 210 1 210 Po2 tiene una vida media de 140 días. Suponga que una
muestra de esta sustancia tiene una masa de 300 mg.
a) Encuentre una función que modele la cantidad de la muestra que queda en el
tiempo t.
b) Calcule la masa que queda después de un año.
c) ¿Cuánto tiempo tarda la muestra en desintegrarse a una masa de 200 mg?
d) Dibuje una gráfica de la masa de la muestra como una función del tiempo.
Solución
a) Usando el modelo para el decaimiento radiactivo con m 0 300 y
r 1ln 2/1402 0.00495, se tiene
m1t2 300e 0.00495t
b) Se usa la función hallada en el inciso a) con t 365 (un año).
Joel W. Rogers/Corbis
m13652 300e 0.0049513652 49.256
Así, aproximadamente 49 mg de 210 Po permanecen después de un año.
c) Use la función determinada en el inciso a) con m1t2 200 y despeje t de la
ecuación resultante.
300e 0.00495t 200 m1t2 m o e rt
e 0.00495t 2 3
ln e 0.00495t ln 2 3
Divida entre 300
Tome el ln de cada lado