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SECCIÓN 7.4 Funciones trigonométricas inversas 551
y
A
f
f _1
Figura 1
f 1 1x2 y 3 f 1y2 x
B
x
(Véase la sección 2.8.) En otras palabras, f 1 es la regla que invierte la acción de f.
En la figura 1 se representa gráficamente la acción de f y de f 1 .
Para que una función tenga una inversa, debe ser uno a uno. Puesto que las funciones
trigonométricas no son uno a uno, no tienen inversas. No obstante, es posible limitar
los dominios de las funciones trigonométricas de tal manera que las funciones
resultantes sean uno a uno o biunívocas.
La función inversa del seno
Primero consideremos la función seno. Hay muchas maneras de restringir el dominio
del seno de modo que la nueva función sea uno a uno. Una manera natural de hacerlo
es limitar el dominio al intervalo 3p/2, p/24. La razón de esta elección es que el
seno alcanza cada uno de estos valores exactamente una vez en este intervalo. Como
podemos observar en la figura 2, en este dominio restringido la función seno es uno a
uno (por la Prueba de la recta horizontal), de modo que tiene una inversa.
y
y
_2π
_π
1
0
_1
π
2π
x
π
_
2
1
0
π
2
x
Figura 2
y=sen x
π π
y=sen x, _ ≤x≤
2 2
La inversa de la función seno es la función sen 1 definida por
y
π
2
y=sen–¡x
sen 1 x y 3 sen y x
para 1 x 1yp/2 y p/2. La gráfica de y sen 1 x se muestra en la figura 3,
y se obtiene al reflejar la gráfica de y sen x, p/2 x p/2 en la recta y x.
_1
0 1
x
Definición de la función inversa del seno
La función inversa del seno es la función sen 1 con dominio 31, 14 y rango
3p/2, p/24 definido por
Figura 3
π
_
2
sen 1 x y 3 sen y x
La función inversa del seno también se llama arco seno y se escribe como
arcsen.
Por consiguiente, sen 1 x es el número en el intervalo [p/2, p/2] cuyo seno es x.
En otras palabras, sen1sen 1 x2 x. De hecho, a partir de las propiedades generales
de las funciones inversas estudiadas en la sección 2.8, tenemos las relaciones siguientes.
sen1sen 1 x2 x para 1 x 1
sen 1 p
1sen x2 x para
2 x p 2