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494 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas de ángulos
b) Puesto que tan u sen u/cos u, se necesita escribir cos u en términos de sen u.
Por el inciso a)
cos u 21 sen 2 u
y puesto que cos u es negativo en el cuadrante II, aquí se aplica el signo
negativo. Así,
tan u sen u
cos u sen u
21 sen 2 u
■
Si desea racionalizar el denominador,
se puede expresar a cos u como
3
# 113
113 113 313
13
¨
œ∑∑
3
Figura 14
¨
2 Ϸ
1
Figura 15
2
Ejemplo 6
Evaluar una función trigonométrica
Si tan u 2 3 y u está en el cuadrante III, encuentre cos u.
Solución 1 Se necesita escribir cos u en términos de tan u. De la identidad
tan 2 u 1 sec 2 u, se obtiene sec u 2tan 2 u 1. En el cuadrante III,
sec u es negativa, por lo tanto
Así
Solución 2 Este problema se puede resolver más fácilmente con el método
del ejemplo 2 de la sección 6.2. Recuerde que, excepto por el signo, los valores de
las funciones trigonométricas de cualquier ángulo son los mismos que los de un
ángulo agudo (el ángulo de referencia). Así, sin considerar el signo por el momento,
se bosqueja un triángulo rectángulo con un ángulo agudo u que satisface a tan u 2 3
(véase la figura 14). Por el teorema de Pitágoras la hipotenusa de este triángulo tiene
longitud 113. Del triángulo de la figura 14 se puede observar de inmediato que
cos u 3/ 113. Puesto que u está en el cuadrante III, cos u es negativo y, por lo tanto,
3
cos u
■
113
Ejemplo 7
sec u 2tan 2 u 1
cos u 1
sec u 1
2tan 2 u 1
1
2A 2 3B 2 1 1
1 13 9
3
113
Evaluación de funciones trigonométricas
Si sec u 2 y u está en el cuadrante IV, encuentre las otras cinco funciones
trigonométricas de u.
Solución Se bosqueja un triángulo como en la figura 15 de modo que sec u 2.
Tomando en cuenta el hecho de que u está en el cuadrante IV, se obtiene
13
sen u cos u 1 tan u 13
2
2
2
1
csc u sec u 2 cot u
■
13
13
Áreas de triángulos
Concluimos esta sección con una aplicación de las funciones trigonométricas en las
que los ángulos no necesariamente son agudos. En las dos secciones siguientes aparecen
aplicaciones más extensas.