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SECCIÓN 8.1 Coordenadas polares 583
Hay que observar que las coordenadas 1r, u2 y 1r, u p2 representan el mismo punto,
como se muestra en la figura 4. Además, debido a que todos los ángulos u 2np
(donde n es cualquier entero) tienen el mismo lado terminal que el ángulo u, cada
punto en el plano tiene un número infinito de representaciones en coordenadas polares.
De hecho, cualquier punto P1r, u2 se puede representar por
para cualquier entero n.
P1r, u 2np2 y P1r, u 12n 12p2
¨+π
P(r, ¨)
P(_r, ¨+π)
Figura 4
O
¨
Ejemplo 2
Coordenadas polares diferentes
para el mismo punto
a) Grafique el punto con coordenadas polares P12, p/32.
b) Encuentre otras dos representaciones de P en coordenadas polares con r 0 y
dos con r 0.
Solución
a) La gráfica se muestra en la figura 5a).
b) Otras representaciones con r 0 son
p
a 2,
3 2p b a 2, 7p
3 b
p
a 2,
3 2p b a 2, 5p
3 b
Sume 2p a u
Sume 2p a u
Otras representaciones con r 0 son
a 2,
a 2,
p
3 p b a 2, 4p
3 b
p
3 p b a 2, 2p
3 b
Sustituya r y sume p a u
Sustituya r por r y sume p a u
Las gráficas de la figura 5 explican por qué estas coordenadas representan el mismo
punto.
π
P!2, 3 @
P!
P!2,
5π
3 @
P!_2,
4π
3 @
P!_2,
2π
3 @
O
2
π
3
a)
O
2
7π
3
O
2
5π
_ 3
4π
3
O
2
O
2
2π
_ 3
b) c) d) e)
Figura 5
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