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SECCIÓN 10.7 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 809
56. Dos círculos de radio a y b están centrados en el origen,
como se muestra en la figura. Cuando el ángulo u crece, el
punto P traza una curva que se ubica entre los círculos.
a) Encuentre las ecuaciones paramétricas para la curva,
usando a u como parámetro.
b) Grafique la curva por medio de un dispositivo de graficación,
con a 3 y b 2.
c) Elimine el parámetro e identifique la curva.
y
b) Grafique la curva por medio de un dispositivo de graficación,
con a 3.
y=2a
y
a
A
C
P
a
b
0
¨
P
x
0
¨
59. Elimine el parámetro u en las ecuaciones paramétricas
para la cicloide (ejemplo 6) para obtener una ecuación en
coordenadas rectangulares para la sección de la curva dada
por 0 u p.
x
57. Dos círculos de radio a y b están centrados en el origen, como
se muestra en la figura.
a) Encuentre ecuaciones paramétricas para la curva trazada
por el punto P, usando el ángulo u como parámetro.
(Nota: hay que observar que el segmento de recta AB
siempre es tangente al círculo más grande.)
b) Grafique la curva por medio de un dispositivo de graficación,
con a 3 y b 2.
a
y
b
0
¨
A
B
P
x
Aplicaciones
60. La máquina rotatoria El Mazda RX-8 utiliza un motor
poco común (inventado por Felix Wankel en 1954) en el
que los pistones se reemplazan por un rotor triangular que
gira en una carcasa especial como se muestra en la figura.
Los vértices del rotor mantienen contacto con la carcasa
todo el tiempo, mientras que el centro del triángulo traza
un círculo de radio r, que hace girar al árbol motor. La forma
de la carcasa está dada por las ecuaciones paramétricas
siguientes (donde R es la distancia entre los vértices y el
centro del rotor).
x r cos 3u R cos u
y r sen 3u R sen u
a) Suponga que el árbol rotor tiene radio r 1. Grafique la
curva dada por las ecuaciones paramétricas para los siguientes
valores de R: 0.5, 1, 3, 5.
b) ¿Cuál de los cuatro valores de R dados en el inciso a) al
parecer modela mejor a la carcasa del motor ilustrada en
la figura?
58. Una curva, llamada bruja de María Agnesi, consiste en los
puntos P determinados como se muestra en la figura.
a) Muestre que las ecuaciones paramétricas para esta
curva se pueden escribir como
x 2a cot u
y 2a sen 2 u