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SECCIÓN 11.2 Sucesiones aritméticas 835
tiene que dividir la zona en dos partes:
una parte la usará el mismo país
y la otra la tendrá un consorcio que
la preservará para que la use después
un país menos desarrollado.
El consorcio es el que primero la
aprovecha.
estamos sumando números producidos de acuerdo con un patrón fijo, también debe
haber un patrón o una fórmula para determinar la suma. Empezó por escribir los
números del 1 al 100 y abajo de ellos los mismos números pero en orden inverso. Si
S es la suma y si sumamos los términos correspondientes tenemos
Se infiere que 2S 10011012 10100 de modo que S 5050.
Naturalmente, la sucesión de números naturales 1, 2, 3, . . . es una sucesión aritmética,
en donde a 1 y d 1, y el método para sumar los primeros 100 términos
de esta sucesión se puede utilizar para encontrar una fórmula de la n-ésima suma parcial
de cualquier sucesión aritmética. Queremos calcular la suma de los primeros n
términos de la sucesión aritmética cuyos términos son a k a 1k 12d, es decir,
deseamos hallar
S n a
n
k1
S 1 2 3 . . . 98 99 100
S 100 99 98 . . . 3 2 1
2S 101 101 101 . . . 101 101 101
3a 1k 12d4
a 1a d2 1a 2d2 1a 3d2 . . . 3a 1n 12d4
Al aplicar el método de Gauss, podemos escribir
S n a Óa dÔ . . . 3a Ón 2Ôd4 3a Ón 1Ôd4
S n 3a Ón 1Ôd4 3a Ón 2Ôd4 . . . Óa dÔ a
2S n 32a Ón 1Ôd4 32a Ón 1Ôd4 . . . 32a Ón 1Ôd4 32a Ón 1Ôd4
Hay n términos idénticos en el segundo miembro de esta ecuación, de modo que
2S n n32a 1n 12d4
S n n 32a 1n 12d4
2
Obsérvese que a n a 1n 12d es el n-ésimo término de esta sucesión. Entonces,
podemos escribir
S n n 2 3a a 1n 12d4 n a a a n
b
2
Esta última fórmula establece que la suma de los primeros n términos de una sucesión
aritmética es el promedio del primero y del n-ésimo término multiplicado por n,
el número de términos en la suma. En seguida resumimos este resultado.
Sumas parciales de una sucesión aritmética
En el caso de la sucesión aritmética a n a 1n 12d, la n-ésima suma
parcial
S n a 1a d2 1a 2d2 1a 3d2 . . . 3a 1n 12d4
está dada por cualquiera de las fórmulas siguientes.
1.
S n n 32a 1n 12d4
2
2. S n n a a a n
b
2